Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: Tabla de Routh y recuento de polos, rango de K para la estabilidad, lugar de las raíces.

Problema de práctica gratisFácil
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

El polinomio característico de un sistema realimentado es Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. Construye la tabla de Routh y halla cuántas raíces N de Q(s) están en el semiplano derecho.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

Respuesta exacta: un número entero, sin redondear.

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Qué practicas

  1. FácilTabla de Routh y recuento de polos
  2. Mediarango de K para la estabilidad
  3. Difícillugar de las raíces

Cómo resolver problemas de Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces

  1. Escribe el polinomio característico de lazo cerrado: el denominador de 1 + K·G(s) = 0, desarrollado.
  2. Coloca los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas de la tabla de Routh y construye las filas restantes.
  3. Cuenta los cambios de signo de la primera columna: cada uno es un polo en el semiplano derecho. Con K en la tabla, exige que todos los elementos de la primera columna sigan siendo positivos.
  4. Para un lugar de las raíces, marca los polos y los ceros, los tramos del eje real, las asíntotas desde el centroide y los puntos de ruptura donde dK/ds = 0. Usa K = 1/|G(s)| para la ganancia en un punto.

Errores frecuentes

  • Concluir que un sistema es estable porque todos los coeficientes son positivos; para un polinomio cúbico o de orden superior eso no basta.
  • Olvidar el término constante de la planta cuando se suma K: con tres polos alejados del origen el elemento de s⁰ es abc + K.
  • Tomar el punto medio de dos polos como punto de salida cuando hay un tercer polo o un cero cerca.
  • Usar las posiciones de los polos sin su signo en la fórmula del centroide.

Fórmulas clave

Estabilidad
todas las raíces del polinomio característico en el semiplano izquierdo
tabla de Routh, elemento s¹ de un polinomio cúbico
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
Raíces del semiplano derecho
número de cambios de signo en la primera columna
Cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
estable cuando todos los a > 0 y a₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
Ecuación característica
1 + K·G(s) = 0
Asíntotas
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
Puntos de salida y de entrada
dK/ds = 0
Condición de módulo
K = 1/|G(s)|
Ángulo de salida
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

Aprende Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces desde cero

Antes de esto: Transformadas de Laplace, Diagramas de bloques

1Qué significa la estabilidad

Un sistema es estable cuando toda entrada acotada da una salida acotada. Tras una perturbación un sistema estable se asienta; uno inestable se dispara u oscila con amplitud creciente.

El comportamiento lo fijan los polos del lazo cerrado: las raíces de su polinomio característico. Un polo en s = p añade un término ept a la respuesta.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • Un polo con parte real negativa (semiplano izquierdo) da un término que se extingue.
  • Un polo con parte real positiva (semiplano derecho) da un término que crece sin límite.
  • Así que el sistema es estable solo cuando todos los polos están en el semiplano izquierdo.
Autoevaluación Un lazo cerrado tiene polos en −3, −1 + j2, −1 − j2 y +0,5. ¿Es estable?
  1. No, el polo en +0,5 lo hace inestable
  2. No, porque los polos complejos siempre hacen inestable un sistema
  3. Sí, porque los polos complejos tienen parte real negativa
  4. Sí, porque tres de los cuatro polos están en el semiplano izquierdo

Respuesta: No, el polo en +0,5 lo hace inestable. Un polo en el semiplano derecho basta: su término e0,5t crece. Los polos complejos en el semiplano izquierdo no son problema; dan una oscilación amortiguada.

2La tabla de Routh

Para un polinomio cúbico o de orden superior es difícil hallar las raíces a mano. El criterio de Routh–Hurwitz te dice cuántas raíces hay en el semiplano derecho sin calcularlas.

Escribe los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas. Para s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

Cada fila nueva se construye con las dos filas de encima. Para el polinomio cúbico, el elemento de s¹ es:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces en el semiplano derecho.

Ejemplo: s³ + 2s² + 3s + 10. La primera columna es 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Los signos son +, +, −, +: dos cambios, así que dos polos están en el semiplano derecho.

Autoevaluación Para s³ + 4s² + 5s + 2, ¿cuál es el primer elemento de la fila s¹?
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

Respuesta: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. Olvidar dividir entre 4 da 18; intercambiar los productos da −4,5.

3El método paso a paso

  1. Escribe la ecuación característica de lazo cerrado 1 + K·G(s) = 0 y desarróllala hasta un polinomio.
  2. Rellena las dos primeras filas de la tabla de Routh con los coeficientes.
  3. Construye las filas restantes; deja K como símbolo si aparece.
  4. Cuenta los cambios de signo de la primera columna, o exige que todos los elementos de la primera columna sean positivos para hallar el rango permitido de K.
  5. Con la ganancia límite la fila s¹ es cero. La fila s² da entonces la ecuación auxiliar a·s² + b = 0, cuyas raíces ±jω indican la frecuencia de oscilación.

Prueba rápida para un polinomio cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀: es estable exactamente cuando todos los coeficientes son positivos y a₂·a₁ > a₀.

4Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

El lazo de abajo tiene L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). ¿Para qué ganancias K es estable el lazo cerrado, y a qué frecuencia oscila en el límite?

1

Observa el lazo

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

La ecuación característica es 1 + L(s) = 0, así que s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

Desarrolla

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

Construye la tabla de Routh

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

El elemento de s¹ es (6·8 − 1·K)/6.

4

Mantén positiva la primera columna

De la fila s⁰: K > 0. De la fila s¹: 48 − K > 0, así que K < 48.

5

Frecuencia en el límite

Con K = 48 la fila s¹ es cero. La fila s² da 6s² + 48 = 0, así que s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

Comprueba la respuesta

Con K = 48 el polinomio es s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). Sus raíces son −6 y ±j2,83, como se esperaba.

Respuesta

El lazo es estable para 0 < K < 48; con K = 48 oscila a ω = 2,83 rad/s.

5El lugar de las raíces

El lugar de las raíces muestra cómo se mueven los polos de lazo cerrado cuando K va de 0 a ∞. Empieza en los polos de lazo abierto (×) y termina en los ceros de lazo abierto (○) o en el infinito.

  • Un punto del eje real está en el lugar cuando el número de polos y ceros reales a su derecha es impar.
  • Las n − m ramas que van al infinito siguen asíntotas con los ángulos (2q + 1)·180°/(n − m).
  • Las asíntotas parten del centroide σa = (Σ polos − Σ ceros)/(n − m).
  • Las ramas salen del eje real o se unen a él donde dK/ds = 0, con K = −1/G(s) sobre el eje.
  • La ganancia en cualquier punto s del lugar es K = 1/|G(s)|, el producto de las distancias a los polos dividido entre el de las distancias a los ceros.

Para L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) el centroide es (0 − 2 − 4)/3 = −2, y las asíntotas parten a 60°, 180° y 300°.

ReIm0−2−460°

El punto de salida entre 0 y −2 sale de dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, así que s = −0,845.

Autoevaluación Para L(s) = K/((s + 1)(s + 5)), ¿dónde salen del eje real las dos ramas?
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

Respuesta: s = −3. Con dos polos reales y ningún cero, K = −(s + 1)(s + 5) es máxima a mitad de camino entre ellos: dK/ds = −(2s + 6) = 0 da s = −3.

6Errores frecuentes

  • Decir que un sistema es estable porque todos sus coeficientes son positivos. Para un polinomio cúbico o de orden superior hace falta además la prueba de Routh.
  • Olvidar el término constante de la planta: para K/((s + a)(s + b)(s + c)) el coeficiente de s⁰ es abc + K, no K.
  • Tomar el punto medio de dos polos como punto de salida cuando un tercer polo o un cero deforma el lugar.
  • Perder los signos en el centroide: un factor (s + 4) es un polo en s = −4.
Autoevaluación ¿Es s³ + s² + 2s + 8 = 0 una ecuación característica estable?
  1. No: a₂·a₁ = 2 es menor que a₀ = 8
  2. No: un polinomio cúbico nunca es estable
  3. Sí: los coeficientes no cambian de signo
  4. Sí: todos los coeficientes son positivos

Respuesta: No: a₂·a₁ = 2 es menor que a₀ = 8. El elemento de s¹ es (1·2 − 8)/1 = −6, así que la primera columna 1, 1, −6, 8 cambia de signo dos veces: dos polos están en el semiplano derecho. Los coeficientes positivos no bastan.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: la tabla de Routh y el recuento de polos. Cuenta los polos del semiplano derecho de un polinomio cúbico o cuártico, halla un elemento de la tabla, halla un polo de lazo cerrado para una planta de primer orden, o la ganancia que lo sitúa en un punto dado.
  • Medio: el rango de K. Halla la mayor ganancia estable, la frecuencia de oscilación con esa ganancia, la menor ganancia que estabiliza una planta inestable, o cuánto puede subir la ganancia.
  • Difícil: el lugar de las raíces. Halla el centroide de las asíntotas, el cruce con el eje imaginario, los puntos de salida y de entrada, el ángulo de salida de un polo complejo, o la ganancia en un punto dado o para un coeficiente de amortiguamiento.

Para una ganancia con un coeficiente de amortiguamiento dado, escribe el polinomio característico y compáralo con s² + 2ζωns + ωn².

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
R(s)+K1s + 10C(s)−

Una ganancia proporcional K controla la planta G(s) = 1/(s + 10) en un lazo con realimentación unitaria. Halla la ganancia K que sitúa el polo de lazo cerrado en s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

Calcula K

Mostrar pistas
  1. El polo de lazo cerrado es la raíz de s + 10 + 1K = 0.
  2. Sustituye s = −10,5 en esa ecuación.
  3. 1K = 10,5 − 10.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Criterio de Routh–Hurwitz: un sistema lineal es estable cuando todas las raíces de su polinomio característico están en el semiplano izquierdo del plano s. Escribe los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas de la tabla de Routh. Cada elemento de una fila nueva sale de las dos filas de encima; para un polinomio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ el elemento de s¹ es b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces en el semiplano derecho. Con una ganancia K en los coeficientes, todos los elementos de la primera columna deben seguir siendo positivos: la ganancia que anula el elemento de s¹ es el límite de estabilidad, y la fila de s² da entonces la frecuencia de la oscilación sostenida.

Ecuación característica

s + 10 + 1K = 0

Ganancia necesaria

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

Respuesta

K = 0,5
Ejemplo 2Media
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

La planta G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) tiene un polo inestable en s = 4. Una ganancia proporcional K cierra un lazo con realimentación unitaria a su alrededor. Halla la menor ganancia Kmin que hace estable el lazo cerrado.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

Calcula Kmin

Mostrar pistas
  1. El polinomio característico es (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. Un polinomio de segundo orden es estable cuando ambos coeficientes son positivos.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Criterio de Routh–Hurwitz: un sistema lineal es estable cuando todas las raíces de su polinomio característico están en el semiplano izquierdo del plano s. Escribe los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas de la tabla de Routh. Cada elemento de una fila nueva sale de las dos filas de encima; para un polinomio cúbico a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ el elemento de s¹ es b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. El número de cambios de signo en la primera columna es igual al número de raíces en el semiplano derecho. Con una ganancia K en los coeficientes, todos los elementos de la primera columna deben seguir siendo positivos: la ganancia que anula el elemento de s¹ es el límite de estabilidad, y la fila de s² da entonces la frecuencia de la oscilación sostenida.

Polinomio característico

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

Condiciones

Para s² + c₁s + c₀ todas las raíces están en el semiplano izquierdo exactamente cuando c₁ > 0 y c₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

Respuesta

Kmin = 3
Ejemplo 3Difícil
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

El lugar de las raíces de L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) sale del eje real entre s = 0 y s = −4. Halla el punto de ruptura sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

Calcula sb

Mostrar pistas
  1. En el eje real K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. Iguala dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. Toma la raíz que está entre 0 y −4.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Lugar de las raíces: cuando la ganancia K va de 0 a ∞, los polos de lazo cerrado, las raíces de 1 + K·G(s) = 0, se desplazan desde los polos de lazo abierto hasta los ceros de lazo abierto o hasta el infinito. Un punto del eje real pertenece al lugar cuando el número de polos y ceros reales situados a su derecha es impar. Las n − m ramas que van al infinito siguen asíntotas con los ángulos (2q + 1)·180°/(n − m), que parten del centroide σₐ = (Σ polos − Σ ceros)/(n − m). Las ramas salen del eje real o se unen a él donde dK/ds = 0. La condición de ángulo ∠G(s) = 180° fija la forma, y la condición de módulo K = 1/|G(s)| da la ganancia en cualquier punto del lugar.

Ganancia a lo largo del eje real

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

Puntos estacionarios

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

Elige el punto del lugar

El lugar está en el eje real entre 0 y −4; la otra raíz no pertenece al lugar.

sb = −1,761

Respuesta

sb = −1,761

Preguntas y respuestas

Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces: ¿qué es?

Un sistema es estable cuando toda entrada acotada da una salida acotada. Tras una perturbación un sistema estable se asienta; uno inestable se dispara u oscila con amplitud creciente.

El comportamiento lo fijan los polos del lazo cerrado: las raíces de su polinomio característico. Un polo en s = p añade un término ept a la respuesta.

Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Escribe el polinomio característico de lazo cerrado: el denominador de 1 + K·G(s) = 0, desarrollado.
  2. Coloca los coeficientes alternadamente en las dos primeras filas de la tabla de Routh y construye las filas restantes.
  3. Cuenta los cambios de signo de la primera columna: cada uno es un polo en el semiplano derecho. Con K en la tabla, exige que todos los elementos de la primera columna sigan siendo positivos.
  4. Para un lugar de las raíces, marca los polos y los ceros, los tramos del eje real, las asíntotas desde el centroide y los puntos de ruptura donde dK/ds = 0. Usa K = 1/|G(s)| para la ganancia en un punto.
Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Concluir que un sistema es estable porque todos los coeficientes son positivos; para un polinomio cúbico o de orden superior eso no basta.
  • Olvidar el término constante de la planta cuando se suma K: con tres polos alejados del origen el elemento de s⁰ es abc + K.
  • Tomar el punto medio de dos polos como punto de salida cuando hay un tercer polo o un cero cerca.
  • Usar las posiciones de los polos sin su signo en la fórmula del centroide.
Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces: ¿qué se practica?
  • Fácil: Tabla de Routh y recuento de polos
  • Media: rango de K para la estabilidad
  • Difícil: lugar de las raíces

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