Calculadora del criterio de estabilidad de Routh–Hurwitz
Introduce tus valores. La respuesta y la solución completa se actualizan mientras escribes.
Resultado
| columna 1 | columna 2 | columna 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Comprueba la estabilidad de un sistema lineal a partir de su polinomio característico. La calculadora construye la tabla de Routh con fracciones exactas, trata un cero en la primera columna (el método de ε) y una fila de ceros (el polinomio auxiliar), cuenta los cambios de signo y da el número de raíces en el semiplano derecho, sobre el eje imaginario y en el semiplano izquierdo.
Solución paso a paso
Polinomio característico
Dos primeras filas
Filas siguientes
Cuenta los cambios de signo de la primera columna
Fórmulas clave
- Estabilidad
- todas las raíces del polinomio característico en el semiplano izquierdo
- tabla de Routh, elemento s¹ de un polinomio cúbico
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Raíces del semiplano derecho
- número de cambios de signo en la primera columna
- Cúbico s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- estable cuando todos los a > 0 y a₂·a₁ > a₀
- Ecuación característica
- 1 + K·G(s) = 0
Cómo usar el criterio de Routh–Hurwitz
- Escribe el polinomio característico con todas las potencias de s desde la más alta. Si falta un coeficiente o los signos difieren, el sistema no puede ser estable.
- Rellena la primera fila con los coeficientes 1.º, 3.º, 5.º, … y la segunda fila con los coeficientes 2.º, 4.º, 6.º, ….
- Cada elemento siguiente es (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, usando las dos filas superiores.
- Si el primer elemento es cero pero la fila no, sustitúyelo por un ε > 0 pequeño. Si toda la fila es cero, sustitúyela por la derivada del polinomio auxiliar formado con la fila anterior.
- El número de cambios de signo de la primera columna es igual al número de raíces en el semiplano derecho.
Preguntas y respuestas
¿Qué significa una fila de ceros?
El polinomio tiene raíces simétricas respecto al origen: pares ±a, ±jω, o cuádruples. El polinomio auxiliar de la fila anterior contiene exactamente esas raíces, y sus raíces sobre el eje imaginario hacen que el sistema sea, como mucho, marginalmente estable.
¿Es siempre fiable el método de ε?
No cuando hay raíces sobre el eje imaginario. Por eso la calculadora también separa el factor común de P(s) y P(−s), que contiene todas las raíces simétricas, y cuenta con exactitud sus raíces sobre el eje imaginario. Si eso cambia el recuento, los pasos lo indican.
¿Cómo hallo el rango de K para la estabilidad?
Introduce la ganancia K en los coeficientes, construye la tabla de forma simbólica y exige que todos los elementos de la primera columna sean positivos. Esta calculadora trabaja con números, así que puedes usarla para comprobar un valor de K a ambos lados del límite que hallaste.
¿Una tabla de Routh estable significa un buen diseño?
Solo dice que todos los polos están en el semiplano izquierdo. La rapidez y el amortiguamiento de la respuesta dependen de dónde estén los polos; para eso usa el lugar de las raíces o un diagrama de Bode.
Practícalo tú mismo
Practica Estabilidad: Routh–Hurwitz y lugar de las raíces
Una calculadora te da la respuesta. En el examen necesitas el método: practícalo con problemas nuevos, pistas y soluciones detalladas.