Lógica digital: puertas, mapas K y biestables: problemas de práctica con soluciones paso a paso

1Unos, ceros y puertas

Los circuitos digitales trabajan con dos valores: 0 (tensión baja, falso) y 1 (tensión alta, verdadero). Una puerta lógica recibe una o más entradas y da una salida.

• AND da 1 solo cuando todas las entradas son 1. Se escribe A·B o AB.
• OR da 1 cuando al menos una entrada es 1. Se escribe A + B.
• NOT invierte: el 0 pasa a 1 y el 1 pasa a 0. Se escribe A′ (o con una barra sobre A).
• NAND y NOR son AND y OR seguidas de NOT; el circulito de un símbolo significa “invertido”.
• XOR (A ⊕ B) da 1 cuando las entradas son distintas.

Una tabla de verdad enumera la salida para cada combinación de las entradas: 2ⁿ filas para n entradas. La fila ABC = 101 es la fila número 5, llamada minitérmino m₅.

2Álgebra de Boole

Las expresiones lógicas siguen reglas parecidas a las del álgebra ordinaria, más algunas propias. Las más útiles:

La regla de combinación X·Y + X·Y′ = X es el corazón de la simplificación: dos términos que se diferencian en una variable se fusionan y esa variable desaparece.

Una suma de productos (SOP) es un OR de términos AND, como F = AB′ + C. Un producto de sumas (POS) es un AND de términos OR, como F = (A + B)(B′ + C). Cada término producto se construye con literales: variables, con o sin prima.

3Mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh es una tabla de verdad dibujada como una cuadrícula en la que las celdas vecinas se diferencian en exactamente una variable. Por eso las filas y columnas siguen el orden 00, 01, 11, 10 (código Gray), y no el orden binario.

1. Escribe un 1 en la celda de cada minitérmino; el número pequeño de cada celda es su número de minitérmino.
2. Dibuja rectángulos de 1, 2, 4, 8 o 16 celdas alrededor de los 1. Los grupos pueden envolver los bordes: las columnas izquierda y derecha son vecinas, y también lo son las filas superior e inferior.
3. Haz cada grupo lo más grande posible y usa el menor número de grupos hasta cubrir todos los 1.
4. Lee cada grupo como un término producto: conserva solo las variables que no cambian dentro de él. Un grupo de 2ᵏ celdas pierde k variables.

En el mapa de arriba los cuatro 1 forman un solo grupo. Dentro de él cambian A y C, solo B = 1 permanece, así que F = B.

Las celdas marcadas con X son indiferencias (don’t-cares): combinaciones de entrada que nunca se dan. Usa una X como 1 cuando agrande un grupo e ignórala en caso contrario. Agrupar los 0 en su lugar da la forma POS mínima.

4Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

5Biestables y contadores

Las puertas reaccionan a sus entradas de inmediato. Un biestable (flip-flop) almacena un bit y solo cambia en el flanco activo del reloj (normalmente el flanco de subida).

• Biestable D: Q pasa a ser D en cada flanco de reloj (Q⁺ = D).
• Biestable T: conmuta cuando T = 1 y se mantiene cuando T = 0.
• Biestable JK: JK = 00 mantiene, 01 pone a 0, 10 pone a 1 y 11 conmuta.

Un biestable que conmuta cambia en cada flanco de subida, así que su salida tiene la mitad de la frecuencia del reloj. Encadenar n de ellos da un contador binario de n bits con 2ⁿ estados. Un contador módulo N cuenta 0, 1, …, N − 1 y vuelve a 0; necesita el menor n con 2ⁿ ≥ N, y su última salida funciona a f_clk/N.

En un contador asíncrono (de rizado) cada etapa se activa con la anterior, así que los retardos se suman: el periodo del reloj debe ser al menos n·t_pd. Los contadores de registro de desplazamiento usan menos estados: un contador en anillo de n biestables tiene n estados, y un contador Johnson, 2n.

6Errores frecuentes

• Escribir las columnas del mapa K como 00, 01, 10, 11. El orden es código Gray: 00, 01, 11, 10.
• Olvidar que los grupos envuelven los bordes del mapa.
• Hacer grupos de 3 o 6 celdas. Los grupos tienen 1, 2, 4, 8 o 16 celdas.
• Cubrir una indiferencia que no ayuda: una X nunca tiene que cubrirse.
• Leer un grupo conservando las variables que cambian. Conserva solo las que permanecen constantes.
• Olvidar que un contador da la vuelta: un contador de n bits cuenta módulo 2ⁿ.

7Cómo son las preguntas de examen

• Fácil: evaluar un circuito de puertas para unas entradas dadas, contar los 1 de su tabla de verdad, situar un minitérmino en un mapa de Karnaugh, el número de puertas NAND de una función o el retardo de propagación en el peor caso.
• Medio: simplificar una expresión, hallar la forma SOP o POS mínima con un mapa de Karnaugh, una función construida con un multiplexor, o el 1 aislado de un mapa.
• Difícil: mapas con indiferencias, implicantes primos esenciales, cronogramas de biestables, contadores tras muchos pulsos, el número de biestables o la frecuencia de salida, y registros de desplazamiento.

Comprueba una expresión simplificada probando una o dos filas de la tabla de verdad: la original y la simplificada deben dar la misma salida.