Resonancia LC, factor Q y ancho de banda: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Resonancia LC, factor Q y ancho de banda con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: frecuencia natural, Q y energía, RLC serie y paralelo, diseño, pérdidas y decaimiento.

Problema de práctica gratisFácil
C = ?L = 4,7 mH

Un circuito LC con L = 4,7 mH debe resonar a 50 kHz. Halla la capacidad C en nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
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Qué practicas

  1. Fácilfrecuencia natural, Q y energía
  2. MediaRLC serie y paralelo
  3. Difícildiseño, pérdidas y decaimiento

Cómo resolver problemas de Resonancia LC, factor Q y ancho de banda

  1. Halla primero la frecuencia de resonancia: ω₀ = 1/√(LC) y f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decide si el circuito es serie o paralelo: en serie Q = (1/R)√(L/C), en paralelo Q = R√(C/L).
  3. Usa BW = f₀/Q para el ancho de banda, o los atajos R/(2πL) (serie) y 1/(2πRC) (paralelo).
  4. En las preguntas de energía, usa que la energía total ½CV₀² se mantiene constante en un circuito LC ideal y oscila entre C y L cada cuarto de periodo.

Errores frecuentes

  • Confundir ω₀ (rad/s) con f₀ (Hz): se diferencian en 2π.
  • Usar la fórmula de Q de serie en un circuito paralelo, donde una R mayor da una Q mayor.
  • Colocar f₀ a mitad de camino entre f₁ y f₂: es su media geométrica √(f₁f₂).
  • Olvidar convertir µH, nF y pF a H y F.

Fórmulas clave

Frecuencia natural
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energía
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Corriente pico
Imax = V0√(C/L)
Factor de calidad
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC serie
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC paralelo
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Ancho de banda
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Frecuencias de media potencia
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Circuito tanque con resistencia de bobina r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Decaimiento de la amplitud
e−Rt/(2L)

Aprende Resonancia LC, factor Q y ancho de banda desde cero

Antes de esto: Impedancia y fasores en alterna

1Qué ocurre en un circuito LC

Carga un condensador y conéctalo a una bobina. El condensador impulsa una corriente por la bobina. La corriente crea un campo magnético y, cuando el condensador se vacía, el campo mantiene la corriente, de modo que el condensador se carga en sentido contrario. Después todo vuelve hacia atrás.

C+−Li

La energía oscila entre el campo eléctrico de C (½Cv²) y el campo magnético de L (½Li²), igual que un péndulo oscila entre altura y velocidad. Sin resistencia, la energía total ½CV0² se mantiene.

Autoevaluación En el instante en que la tensión del condensador es cero, ¿dónde está la energía de un circuito LC ideal?
  1. La mitad en C y la mitad en L
  2. Se ha perdido en forma de calor
  3. Toda en el condensador
  4. Toda en la bobina, y la corriente está en su máximo

Respuesta: Toda en la bobina, y la corriente está en su máximo. Con v = 0 el condensador almacena ½Cv² = 0, así que toda la energía es ½Li² en la bobina: la corriente es máxima. Un circuito ideal no tiene resistencia, por lo que no se pierde nada.

2La frecuencia natural

El circuito oscila a la frecuencia en la que las reactancias de L y C son iguales, ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

Con L = 10 mH y C = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s², ω0 = 10 000 rad/s y f0 = 1592 Hz. La energía pasa de C a L en un cuarto del periodo T = 1/f0.

La energía también da la corriente máxima: ½CV0² = ½LImax², así que Imax = V0√(C/L).

Autoevaluación ¿Qué le ocurre a f0 cuando se duplica C?
  1. Aumenta en un factor √2
  2. Baja a f0/√2, unos 0,71·f0
  3. Se duplica
  4. Se reduce a la mitad

Respuesta: Baja a f0/√2, unos 0,71·f0. f0 es proporcional a 1/√C, así que duplicar C la divide entre √2. Solo se reduce a la mitad cuando C es cuatro veces mayor.

3Factor Q y ancho de banda

Los circuitos reales pierden energía en la resistencia. El factor de calidad Q compara la energía almacenada con la pérdida: Q = 2π·(energía almacenada)/(energía perdida por ciclo). Una Q alta da un pico de resonancia agudo.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

El ancho de banda es la anchura del pico entre las frecuencias de media potencia f1 y f2, donde la corriente es 0,707 de su valor máximo:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC serie: Q = (1/R)·√(L/C) y BW = R/(2πL). Una resistencia en serie pequeña da una Q alta.
  • RLC paralelo: Q = R·√(C/L) y BW = 1/(2πRC). Una resistencia en paralelo grande da una Q alta.

4El método paso a paso

  1. Convierte L y C a H y F, y después halla ω0 = 1/√(LC) y f0 = ω0/(2π).
  2. Decide si R está en serie o en paralelo, y usa la fórmula de Q correspondiente.
  3. Halla el ancho de banda BW = f0/Q.
  4. Para las frecuencias de media potencia usa f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)); para una Q alta, f0 ∓ BW/2 es una buena aproximación.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Un circuito RLC serie tiene R = 10 Ω, L = 10 mH y C = 1 µF. Halla su frecuencia de resonancia, su factor de calidad, su ancho de banda y sus frecuencias de media potencia.

1

Observa el circuito

RLC

Los tres elementos llevan la misma corriente, así que es un circuito serie.

2

Frecuencia de resonancia

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

Factor de calidad

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

Ancho de banda

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

Comprobación: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

Frecuencias de media potencia

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz y 1673 Hz

Comprobación: 1673 − 1514 = 159 Hz, y √(1514·1673) = 1592 Hz.

Respuesta

f0 = 1,59 kHz, Q = 10, BW = 159 Hz, f1 = 1,51 kHz y f2 = 1,67 kHz.

6Errores frecuentes

  • Confundir ω0 en rad/s con f0 en Hz: se diferencian en 2π.
  • Usar la fórmula de Q de serie en un circuito paralelo.
  • Colocar f0 a mitad de camino entre f1 y f2: es su media geométrica.
  • Olvidar convertir mH, µH, nF y pF a H y F.
Autoevaluación Un circuito RLC paralelo tiene R = 10 kΩ, L = 10 mH y C = 1 µF. ¿Cuál es su Q?
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

Respuesta: 100. En paralelo, Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. La fórmula de serie (1/R)·√(L/C) da 0,01, y omitir la raíz cuadrada da 1.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: frecuencia natural, Q y energía. Calculas f0 o la C para una f0 dada, el ancho de banda a partir de Q o la Q a partir del ancho de banda, la energía almacenada o la corriente máxima.
  • Medio: RLC serie y paralelo. Calculas la Q o el ancho de banda de un circuito serie o paralelo, la frecuencia de media potencia exacta, el tiempo que tarda la energía en pasar de C a L o la energía en L para una tensión dada del condensador.
  • Difícil: diseño, pérdidas y decaimiento. Dimensionas R para un ancho de banda o C para un filtro, calculas la energía perdida por ciclo, la resistencia dinámica de un circuito tanque, el número de ciclos hasta que la amplitud se reduce a la mitad o la Q a partir de las dos frecuencias de media potencia.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
C = ?L = 47 µH

Un circuito LC con L = 47 µH debe resonar a 500 kHz. Halla la capacidad C en nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

Calcula C (nF)

Mostrar pistas
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Resonancia LC: un condensador cargado conectado a una bobina genera una corriente que lo carga en sentido contrario: la energía oscila entre el campo eléctrico de C (½Cv²) y el campo magnético de L (½Li²) a la frecuencia natural f0 = 1/(2π√(LC)). Sin resistencia, la energía total ½CV0² se mantiene constante, por lo que la corriente máxima es Imax = V0√(C/L). Un periodo es T = 1/f0; la energía pasa de C a L en un cuarto de él.

Frecuencia angular

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

Capacidad

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

Respuesta

C = 2,156 nF
Ejemplo 2Media
V2 Ω2,2 mH220 nF

Un circuito RLC serie tiene R = 2 Ω, L = 2,2 mH y C = 220 nF. Halla su ancho de banda BW en Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

Calcula BW (Hz)

Mostrar pistas
  1. El ancho de banda es f₀/Q.
  2. Para un RLC serie esto se simplifica a BW = R/(2πL): C desaparece.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Factor Q y ancho de banda: en un circuito resonante Q = 2π·(energía almacenada)/(energía perdida por ciclo). Para un RLC serie Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); para un RLC paralelo Q = R/(ω0L) = R√(C/L). El ancho de banda entre las frecuencias de media potencia f1 y f2 (donde la potencia es la mitad y la corriente o la tensión es 1/√2 de su valor máximo) es BW = f2 − f1 = f0/Q, que vale R/(2πL) en serie y 1/(2πRC) en paralelo. La frecuencia de resonancia es la media geométrica f0 = √(f1f2), y f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Las pérdidas también hacen decaer la oscilación: en un RLC serie la amplitud cae como e−Rt/(2L).

Ancho de banda en rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

Ancho de banda en Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

Respuesta

BW = 144,7 Hz

Con f₀ = 7,234 kHz esto da Q = 50.

Ejemplo 3Difícil
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

Un circuito tanque paralelo está formado por un condensador de 10 nF y una bobina de 47 µH con una resistencia de devanado de 0,5 Ω. En la resonancia se comporta como una resistencia, su resistencia dinámica RD = L/(C·r). Halla RD en kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

Calcula RD (kΩ)

Mostrar pistas
  1. El circuito tanque absorbe solo una corriente pequeña en la resonancia, así que su impedancia es grande.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Factor Q y ancho de banda: en un circuito resonante Q = 2π·(energía almacenada)/(energía perdida por ciclo). Para un RLC serie Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); para un RLC paralelo Q = R/(ω0L) = R√(C/L). El ancho de banda entre las frecuencias de media potencia f1 y f2 (donde la potencia es la mitad y la corriente o la tensión es 1/√2 de su valor máximo) es BW = f2 − f1 = f0/Q, que vale R/(2πL) en serie y 1/(2πRC) en paralelo. La frecuencia de resonancia es la media geométrica f0 = √(f1f2), y f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Las pérdidas también hacen decaer la oscilación: en un RLC serie la amplitud cae como e−Rt/(2L).

Resistencia dinámica

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

Comprobación con Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

Respuesta

RD = 9,4 kΩ

Preguntas y respuestas

Resonancia LC, factor Q y ancho de banda: ¿qué es?

Carga un condensador y conéctalo a una bobina. El condensador impulsa una corriente por la bobina. La corriente crea un campo magnético y, cuando el condensador se vacía, el campo mantiene la corriente, de modo que el condensador se carga en sentido contrario. Después todo vuelve hacia atrás.

La energía oscila entre el campo eléctrico de C (½Cv²) y el campo magnético de L (½Li²), igual que un péndulo oscila entre altura y velocidad. Sin resistencia, la energía total ½CV0² se mantiene.

Resonancia LC, factor Q y ancho de banda: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
  1. Halla primero la frecuencia de resonancia: ω₀ = 1/√(LC) y f₀ = ω₀/(2π).
  2. Decide si el circuito es serie o paralelo: en serie Q = (1/R)√(L/C), en paralelo Q = R√(C/L).
  3. Usa BW = f₀/Q para el ancho de banda, o los atajos R/(2πL) (serie) y 1/(2πRC) (paralelo).
  4. En las preguntas de energía, usa que la energía total ½CV₀² se mantiene constante en un circuito LC ideal y oscila entre C y L cada cuarto de periodo.
Resonancia LC, factor Q y ancho de banda: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • Confundir ω₀ (rad/s) con f₀ (Hz): se diferencian en 2π.
  • Usar la fórmula de Q de serie en un circuito paralelo, donde una R mayor da una Q mayor.
  • Colocar f₀ a mitad de camino entre f₁ y f₂: es su media geométrica √(f₁f₂).
  • Olvidar convertir µH, nF y pF a H y F.
Resonancia LC, factor Q y ancho de banda: ¿qué se practica?
  • Fácil: frecuencia natural, Q y energía
  • Media: RLC serie y paralelo
  • Difícil: diseño, pérdidas y decaimiento

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

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