Respuesta al escalón: problemas de práctica con soluciones paso a paso

Problemas gratis de Respuesta al escalón con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: sistemas de primer orden, parámetros de segundo orden, sistemas físicos y diseño.

Problema de práctica gratisFácil
+−5 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC​

Un condensador descargado C = 47 µF se carga con una fuente de escalón de 5 V a través de una resistencia R = 4,7 kΩ. Halla la tensión del condensador vC en t = 220,9 ms.

R = 4,7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220,9 ms
V
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Qué practicas

  1. Fácilsistemas de primer orden
  2. Mediaparámetros de segundo orden
  3. Difícilsistemas físicos y diseño

Aprende Respuesta al escalón desde cero

Antes de esto: Transitorios RC y RL, Transformadas de Laplace

1Qué es una respuesta al escalón

Un escalón es una entrada que salta de 0 a un valor constante en t = 0 y luego se queda ahí. Piensa en encender un calefactor, o en pisar el acelerador y mantenerlo.

La respuesta al escalón es cómo la sigue la salida. No puede saltar de golpe: se mueve hacia un nuevo valor final y(∞) y se estabiliza allí.

tyy(∞)ab

La curva a sube suavemente y nunca se sobrepasa. Es un sistema de primer orden, como un circuito RC o un depósito calentado.

La curva b se sobrepasa, oscila unas cuantas veces y luego se estabiliza. Es un sistema de segundo orden subamortiguado, como la suspensión de un coche o una masa en un resorte.

El valor final viene de la ganancia en continua G(0): un escalón de tamaño U se estabiliza en y(∞) = G(0)·U. Es el teorema del valor final de las transformadas de Laplace.

Autoevaluación Un sistema G(s) = 3/(2s + 1) recibe un escalón de tamaño 4. ¿Cuál es el valor final y(∞)?
  1. 12
  2. 3
  3. 4
  4. 6

Respuesta: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, así que y(∞) = 3·4 = 12. El valor 4 olvida la ganancia, 3 olvida el tamaño del escalón, y 6 divide entre el 2 de 2s, que desaparece en s = 0.

2Sistemas de primer orden

Un sistema de primer orden tiene la forma estándar de abajo. K es la ganancia estática y τ la constante de tiempo en segundos.

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)

Si G(s) está escrita como b/(s + a), divide el numerador y el denominador entre a. Entonces K = b/a y τ = 1/a.

ty(t)K·U0,63·K·Uτ2τ3τ4τ5τ
  • Tras 1τ la salida ha hecho el 63 % de su cambio, tras 3τ el 95 %, tras 5τ más del 99 %.
  • El tiempo para alcanzar una fracción x del valor final: t = −τ·ln(1 − x). Para el 90 %, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
  • El tiempo de subida del 10 al 90 % es tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
  • En un circuito RC τ = R·C. Ten en cuenta que kΩ por µF da milisegundos.

Si mides la respuesta, puedes hallar τ hacia atrás. Si la salida alcanzó una fracción x en el instante t, entonces τ = −t/ln(1 − x).

Ejemplo resuelto

G(s) = 10/(s + 5) recibe un escalón de tamaño 2 en t = 0. Halla el valor final y el tiempo para alcanzar el 90 % de él.

1

Forma estándar

Divide el numerador y el denominador entre 5:

G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2

Valor final

y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3

Tiempo hasta el 90 %

Resuelve 1 − e−t/τ = 0,9, así que e−t/τ = 0,1:

t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Respuesta

y(∞) = 4 y la salida alcanza el 90 % tras t ≈ 0,461 s.

Autoevaluación ¿Cuál es la constante de tiempo de G(s) = 10/(s + 5)?
  1. 0,2 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 5 s

Respuesta: 0,2 s. Escrita como 2/(0,2s + 1), la constante de tiempo es τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s confunde τ con a, y 2 es la ganancia K, no un tiempo.

3Sistemas de segundo orden

Un sistema de segundo orden tiene un denominador cuadrático. Compáralo con la forma estándar:

G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
  • El término constante es ωn², así que la frecuencia natural es ωn = √(término constante), en rad/s.
  • El coeficiente de s es 2ζωn, así que el factor de amortiguamiento es ζ = (coeficiente de s)/(2ωn).
  • Para 0 < ζ < 1 la respuesta se sobrepasa y oscila. Un ζ menor significa más sobreoscilación.

Para un escalón unitario el valor final es G(0) = K/ωn². Cinco números describen la forma de la respuesta:

ty(t)y(∞)tp​ymax​%OSts​
ωd = ωn·√(1 − ζ²) tp = π/ωd
%OS = 100·e−ζπ/√(1 − ζ²) ts ≈ 4/(ζωn)
  • ωd es la frecuencia amortiguada: lo rápido que oscila la respuesta.
  • tp es el tiempo de pico, cuando la salida es máxima. %OS es la sobreoscilación porcentual por encima del valor final.
  • ts es el tiempo de establecimiento, tras el cual la salida se mantiene dentro del 2 % del valor final.
ReImσjωd​ωn​θ

Los dos polos son s = σ ± jωd, con parte real σ = −ζωn. Su distancia al origen es ωn, y cos θ = ζ.

Autoevaluación Un sistema tiene el denominador s² + 4s + 25. ¿Cuál es el factor de amortiguamiento ζ?
  1. 0,08
  2. 0,4
  3. 0,8
  4. 2

Respuesta: 0,4. ωn = √25 = 5, y 2ζωn = 4 da ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 olvida el 2, 0,08 divide entre ωn² en lugar de ωn, y 2 es ζωn.

4El método paso a paso

  1. Decide el orden: un denominador de grado 1 es de primer orden, de grado 2 es de segundo orden.
  2. Primer orden: escribe G(s) como K/(τs + 1) y lee K y τ.
  3. Segundo orden: compara el denominador con s² + 2ζωns + ωn². Halla primero ωn y luego ζ.
  4. Halla el valor final y(∞) = G(0)·U.
  5. Aplica la fórmula de lo que piden: y(t), un tiempo, tp, %OS, ts o σ.
  6. Comprueba las unidades: tiempos en segundos, ω en rad/s, y el ángulo en las fórmulas con e… y π en radianes.

5Un ejemplo resuelto

Esta es una pregunta media típica. Prueba cada paso antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

G(s) = 16/(s² + 4s + 16) recibe un escalón unitario. Halla ζ, ωn, la sobreoscilación porcentual y el tiempo de pico.

1

Frecuencia natural

El término constante es ωn² = 16.

ωn = √16 = 4 rad/s
2

Factor de amortiguamiento

El coeficiente de s es 2ζωn = 4.

ζ = 4/(2·4) = 0,5

ζ está entre 0 y 1, así que la respuesta se sobrepasa.

3

Sobreoscilación porcentual

ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4

Tiempo de pico

ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5

Comprueba la respuesta

El valor final es G(0) = 16/16 = 1, así que el pico es de unos 1,163. La figura de la sección anterior usa este mismo sistema.

El tiempo de establecimiento 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s es posterior al pico, como debe ser.

Respuesta

ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3 % y tp ≈ 0,907 s.

6Errores frecuentes

  • Tratar la subida como lineal. Una exponencial llega al 90 % tras 2,3τ, no tras 0,9τ: usa t = −τ·ln(1 − x).
  • Usar ln(x) en lugar de ln(1 − x). El logaritmo toma la parte que aún falta.
  • Leer τ = a a partir de b/(s + a). La constante de tiempo es 1/a.
  • Usar ωn² como ωn. Toma la raíz cuadrada del término constante.
  • Olvidar el 2 en 2ζωn, o usar ωn en lugar de ωd en tp = π/ωd.
  • Dar la sobreoscilación como fracción (0,163) cuando la pregunta pide porcentaje (16,3 %).
Autoevaluación G(s) = 2/(s + 4) recibe un escalón. ¿Cuánto tarda la salida en alcanzar el 90 % de su valor final?
  1. 0,026 s
  2. 0,225 s
  3. 0,576 s
  4. 9,21 s

Respuesta: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s y t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. 0,225 s trata la subida como lineal (0,9τ). 0,026 s usa ln(0,9) en lugar de ln(0,1). 9,21 s usa a = 4 en lugar de τ.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: sistemas de primer orden. Hallas y(∞), la salida en un instante dado, el tiempo para alcanzar un porcentaje, τ a partir de un punto medido, o el tiempo de carga de un circuito RC.
  • Medio: parámetros de segundo orden. A partir de G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) hallas ζ, ωn, %OS, tp, ts o la parte real σ de los polos.
  • Difícil: sistemas físicos y diseño. Un sistema masa–resorte–amortiguador o un circuito RLC, o ζ y ωn deducidos de una sobreoscilación y un tiempo de pico medidos.

Para una masa m, un amortiguador c y un resorte k, la ecuación m·x″ + c·x′ + k·x = F da:

ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

Para deducir a partir de una sobreoscilación, despeja ζ de la fórmula de %OS:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
t (s)y(t)y(∞) = ?

Un sistema de primer orden G(s) = 2/(2s + 1) recibe una entrada escalón de tamaño 2 en t = 0, partiendo del reposo. Halla el valor final y(∞) de la salida.

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

Calcula y(∞)

Mostrar pistas
  1. Teorema del valor final: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
  2. G(0) es la ganancia en continua.
  3. G(0) = 2.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Ganancia en continua

G(0) = 2

Valor final

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

Respuesta

y(∞) = 4
Ejemplo 2Media
t (s)y(t)3?

Un sistema tiene la función de transferencia G(s) = 213/(s² + 8s + 71) y recibe una entrada escalón unitario. Halla el sobreimpulso porcentual %OS de la respuesta al escalón.

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

Calcula %OS (%)

Mostrar pistas
  1. Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ².
  2. ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
  3. ζ = 0,4747.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Compara con la forma estándar

El denominador debe coincidir con s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747

Resultado

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %

Respuesta

%OS = 18,37 %
Ejemplo 3Difícil
k = 800 N/mc = 9 N·s/mm = 2,5 kgF = 10 Nx(t)

Una masa m = 2,5 kg cuelga de un resorte k = 800 N/m con un amortiguador viscoso c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). En reposo, en equilibrio, se aplica de repente una fuerza constante F = 10 N. Halla el instante tp en el que el desplazamiento es máximo.

m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

Calcula tp (s)

Mostrar pistas
  1. Divide entre m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, así que ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)).
  2. ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
  3. El desplazamiento final es F/k = 12,5 mm.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Frecuencia natural y razón de amortiguamiento

ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006

Resultado

ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s

Respuesta

tp = 0,1765 s

Preguntas y respuestas

Respuesta al escalón: ¿qué es?

Un escalón es una entrada que salta de 0 a un valor constante en t = 0 y luego se queda ahí. Piensa en encender un calefactor, o en pisar el acelerador y mantenerlo.

La respuesta al escalón es cómo la sigue la salida. No puede saltar de golpe: se mueve hacia un nuevo valor final y(∞) y se estabiliza allí.

Respuesta al escalón: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Respuesta al escalón: un sistema de primer orden G(s) = K/(τs + 1) responde a un escalón de tamaño U con y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): alcanza el 63,2 % del valor final K·U después de una constante de tiempo τ y el 98 % después de 4τ. Un sistema de segundo orden G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) tiene los polos s = −ζωₙ ± jωd con ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Para 0 < ζ < 1 la respuesta al escalón tiene sobreimpulso: sobreimpulso porcentual %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tiempo de pico tp = π/ωd y tiempo de establecimiento al 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). Compara el denominador con s² + 2ζωₙs + ωₙ² para obtener ωₙ y ζ. Para un sistema masa–resorte–amortiguador ωₙ = √(k/m) y ζ = c/(2√(km)); para un circuito RLC serie ωₙ = 1/√(LC) y ζ = (R/2)·√(C/L).

Respuesta al escalón: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • La salida se estabiliza en K·U, no en U: la ganancia en continua es G(0) = 2.
  • Expresa el sobreimpulso en porcentaje: multiplica por 100.
  • El exponente es −ζπ/√(1 − ζ²).
Respuesta al escalón: ¿qué se practica?
  • Fácil: sistemas de primer orden
  • Media: parámetros de segundo orden
  • Difícil: sistemas físicos y diseño

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

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