Estadística descriptiva: problemas de práctica con soluciones paso a paso
También llamado: media · desviación estándar · mediana · varianza
Problemas gratis de Estadística descriptiva con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: media y mediana, desviación típica, distribución normal.
Problema de práctica gratisFácil
Calcula la media x̄ de los datos: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
La estadística descriptiva resume una lista de números, llamada datos, con unos pocos valores. La primera pregunta es: ¿dónde está el centro?
La media es el promedio habitual: suma todos los valores y divide entre cuántos hay, n.
x̄ = Σx / n
El símbolo Σ significa “suma todos”, y x̄ se lee “equis barra”. Para 3, 5 y 10 la media es 18/3 = 6.
La mediana es el valor central después de ordenar los datos de menor a mayor.
n impar: la mediana es el único valor central. Para 3, 5, 10 es 5.
n par: la mediana es el promedio de los dos valores centrales.
Un valor extremo, un valor atípico, atrae la media hacia él pero apenas mueve la mediana. Por eso los ingresos suelen resumirse con la mediana.
Autoevaluación ¿Cuál es la mediana de 4, 40, 29, 22, 17, 20?
20
21
22
25,5
Respuesta: 21. Ordenados: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Los dos valores centrales son 20 y 22, así que la mediana es 21. 25,5 sale de tomar el centro de la lista sin ordenar; 22 es la media.
2La dispersión: la desviación típica
Dos conjuntos de datos pueden tener la misma media pero una dispersión muy distinta. La desviación típica s mide a qué distancia suelen estar los valores de la media.
Cada valor tiene una desviación x − x̄. Las desviaciones suman cero, así que primero se elevan al cuadrado, con lo que todas son positivas.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Esta es la desviación típica muestral: se divide entre n − 1, no entre n. El cuadrado de s se llama varianza.
Para 2, 4 y 6: la media es 4, las desviaciones son −2, 0 y 2, los cuadrados suman 8, 8/2 = 4 y s = √4 = 2.
Autoevaluación ¿Cuál es la desviación típica muestral de 2, 4 y 6?
0
1,633
2
4
Respuesta: 2. Σ(x − x̄)² = 8, dividido entre n − 1 = 2 da 4, y √4 = 2. Dividir entre n = 3 da 1,633; 4 olvida la raíz cuadrada, y 0 es la suma de las desviaciones antes de elevarlas al cuadrado.
3Puntuaciones z y la distribución normal
Muchas medidas, como las estaturas o las notas de un examen, siguen una curva en forma de campana: la distribución normal. Su centro es la media μ y su anchura es la desviación típica σ.
Una puntuación z indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media:
z = (x − μ) / σ
Con μ = 70 y σ = 10, una puntuación de 74 tiene z = 4/10 = 0,4. Una z negativa significa que el valor está por debajo de la media.
La regla 68–95–99,7: aproximadamente el 68 % de los valores está a menos de 1σ de la media, el 95 % a menos de 2σ y el 99,7 % a menos de 3σ.
Con μ = 50 y σ = 5, el valor 60 tiene z = 2. Aproximadamente el 95 % queda entre 40 y 60, así que aproximadamente el 2,5 % queda por encima de 60. Una tabla z da el valor exacto 0,0228.
Autoevaluación Las puntuaciones de CI son normales con μ = 100 y σ = 15. ¿Aproximadamente qué porcentaje de personas puntúa por encima de 115?
16%
32%
34%
68%
Respuesta: 16%. 115 está 1σ por encima de la media. El 68 % queda dentro de 1σ, así que el 32 % queda fuera, repartido a partes iguales entre las dos colas: 16 % por encima. 32 % olvida repartir entre las dos colas.
4El método paso a paso
Escribe los datos en una fila y cuenta n.
Media: suma todo y divide entre n.
Mediana: ordena primero, luego toma el valor central, o el promedio de los dos valores centrales.
Desviación típica: resta la media de cada valor, eleva al cuadrado, suma, divide entre n − 1 y toma la raíz cuadrada.
Puntuación z: resta μ y divide entre σ. Después usa la regla 68–95–99,7 o una tabla z para hallar una proporción.
Una tabla con las columnas x, x − x̄ y (x − x̄)² mantiene ordenado el cálculo de la desviación típica.
5Un ejemplo resuelto
Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.
Ejemplo resuelto
Halla la media, la mediana y la desviación típica muestral s de los datos: 4, 8, 6, 5, 7.
1
La media
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
La mediana
Ordenados: 4, 5, 6, 7, 8. Con n = 5 el valor central es el tercero.
mediana = 6
3
Desviaciones y cuadrados
Resta la media a cada valor: −2, 2, 0, −1, 1. Comprobación: suman 0.
Elévalas al cuadrado: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Divide entre n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Saca la raíz cuadrada
s = √2,5 ≈ 1,58
Comprobación: los valores están a 0, 1 o 2 de la media, así que una distancia típica de unos 1,6 tiene sentido.
Respuesta
Media x̄ = 6, mediana 6 y s ≈ 1,58.
6Errores frecuentes
Tomar el centro de la lista sin ordenarla antes.
Dividir entre n en lugar de entre n − 1 para una desviación típica muestral.
Olvidar la raíz cuadrada al final, lo que da la varianza en lugar de s.
Equivocarse con el signo de una puntuación z: un valor por debajo de la media tiene una z negativa.
Olvidar dividir entre σ en la puntuación z.
Autoevaluación Las notas de un examen tienen media 70 y desviación típica 10. ¿Cuál es la puntuación z de una nota de 60?
1
6
−10
−1
Respuesta: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. La nota está por debajo de la media, así que z es negativa. −10 olvida dividir entre σ.
7Cómo son las preguntas de examen
Fácil: la media o la mediana de una lista corta de datos.
Medio: la desviación típica muestral de cinco o seis valores. Divide entre n − 1.
Difícil: la distribución normal. Halla una puntuación z, o la proporción de valores por encima o por debajo de un valor dado.
Una comprobación rápida: la media y la mediana quedan entre el valor menor y el mayor, y s nunca es negativa.
Calcula la mediana M de los datos: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Calcula M
Mostrar pistas
Ordena los valores de menor a mayor.
Con un número impar de valores, la mediana es el central.
ordenados: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
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Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Ordenar
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Valor central
M = 18
Respuesta
M = 18
Ejemplo 2Media
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Calcula s
Mostrar pistas
Calcula primero la media.
Eleva al cuadrado cada desviación respecto a la media, súmalas, divide entre n − 1 y saca la raíz cuadrada.
x̄ = 37,71.
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Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 12. ¿Qué proporción P de valores está por debajo de 36?
μ = 60σ = 12x = 36
Calcula P
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Pasa primero a puntuación z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Busca Φ(z) en la tabla de la normal estándar.
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Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Tipificar
z = −2
Tabla de la normal estándar
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Respuesta
P = 0,02275
Preguntas y respuestas
Estadística descriptiva: ¿qué es?
La estadística descriptiva resume una lista de números, llamada datos, con unos pocos valores. La primera pregunta es: ¿dónde está el centro?
La media es el promedio habitual: suma todos los valores y divide entre cuántos hay, n.
Estadística descriptiva: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Estadística descriptiva: ¿qué se practica?
Fácil: media y mediana
Media: desviación típica
Difícil: distribución normal
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
Cómo funciona la práctica
Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
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Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.