Regresión lineal y correlación: problemas de práctica con soluciones paso a paso

También llamado: regresión lineal simple · coeficiente de correlación · mínimos cuadrados

Problemas gratis de Regresión lineal y correlación con diagramas, pistas y soluciones completas. Valores nuevos cada vez, en tres niveles: pendiente y ordenada en el origen, coeficiente de correlación, predicción.

Problema de práctica gratisFácil
xy242352445555660760xy2465060

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Halla la ordenada en el origen a.

n = 6
Siguiente problema →
Practica Regresión lineal y correlación gratisPractica Regresión lineal y correlación ahora5 problemas gratis cada día. Sin tarjeta.

Qué practicas

  1. Fácilpendiente y ordenada en el origen
  2. Mediacoeficiente de correlación
  3. Difícilpredicción

Fórmulas clave

Sumas de cuadrados
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendiente
b = Sxy/Sxx
Ordenada en el origen
a = ȳ − b·x̄
Correlación
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuo
e = y − ŷ

Aprende Regresión lineal y correlación desde cero

Antes de esto: Estadística descriptiva

1Qué es la regresión

Mides dos magnitudes en cada caso, por ejemplo x = horas estudiadas e y = nota del examen. Cada par es un punto en un diagrama de dispersión.

xy123456246810

Si los puntos están aproximadamente a lo largo de una recta, puedes describirlos con una recta y usarla para predecir y a partir de x. Esto es la regresión lineal.

ŷ = a + b · x
  • ŷ («y sombrero») es el valor predicho de y.
  • b es la pendiente: cuánto cambia ŷ cuando x aumenta en 1.
  • a es la ordenada en el origen: el valor de ŷ en x = 0.
Autoevaluación Una recta de regresión es ŷ = 40 + 5x, con x en horas estudiadas y ŷ la nota prevista. ¿Qué significa el 5?
  1. Cada hora extra suma unos 5 puntos
  2. La nota es 5 veces las horas
  3. La recta pasa por (5, 40)
  4. Un estudiante que no estudia saca un 5

Respuesta: Cada hora extra suma unos 5 puntos. La pendiente b es el cambio de ŷ por unidad de x. La nota prevista en x = 0 es la ordenada en el origen a = 40, no 5.

2La recta de mínimos cuadrados

Ninguna recta pasa por todos los puntos. La distancia vertical de un punto a la recta es su residuo, e = y − ŷ.

La recta de mínimos cuadrados es la recta con la menor suma posible de residuos al cuadrado. Su pendiente y su ordenada en el origen salen de sumas de desviaciones respecto a las medias:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

La recta siempre pasa por el punto de las medias (x̄, ȳ). Por eso a = ȳ − b · x̄.

Si solo se dan las sumas, usa los atajos Sxx = Σx² − (Σx)²/n y Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Autoevaluación Para un conjunto de datos, x̄ = 4, ȳ = 10 y b = 2. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Respuesta: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Sumar en lugar de restar da 18, y 10 es el propio ȳ, que olvida la pendiente.

3El coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación de Pearson r mide lo cerca que están los puntos de una recta. Siempre está entre −1 y 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r cerca de 1: una tendencia creciente fuerte.
  • r cerca de −1: una tendencia decreciente fuerte, como el precio de un coche frente a su antigüedad.
  • r cerca de 0: ninguna relación lineal.

r tiene el mismo signo que la pendiente b. Su cuadrado r² es la fracción de la variación de y que explica la recta.

Una correlación fuerte no demuestra que x cause y. Ambas pueden depender de una tercera magnitud.

Autoevaluación Para la antigüedad x de un coche y su precio y, r = −0,95. ¿Qué te dice esto?
  1. El cálculo está mal, porque r es negativa
  2. Los coches más viejos cuestan más
  3. Una relación débil
  4. Una relación lineal decreciente fuerte

Respuesta: Una relación lineal decreciente fuerte. r cerca de −1 significa que los puntos están cerca de una recta decreciente: el precio baja al subir la antigüedad. Una r negativa es perfectamente válida; solo son imposibles los valores fuera de −1 a 1.

4El método paso a paso

  1. Calcula las medias x̄ e ȳ.
  2. Haz una tabla con las columnas x − x̄, y − ȳ, su producto y (x − x̄)². Añade (y − ȳ)² si piden r.
  3. Suma las columnas para obtener Sxy, Sxx y Syy.
  4. Pendiente b = Sxy/Sxx, luego ordenada en el origen a = ȳ − b · x̄.
  5. Correlación r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Predicción: sustituye x en ŷ = a + bx. Residuo: e = y − ŷ.

5Un ejemplo resuelto

Sigue cada paso. Intenta adivinar el siguiente antes de abrirlo.

Ejemplo resuelto

Se miden cinco pares: x = 1, 2, 3, 4, 5 e y = 3, 5, 6, 8, 8. Halla la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x y predice ŷ para x = 6.

1

Las medias

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Desviaciones

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Las sumas

Multiplica los pares: 6, 1, 0, 2, 4. Eleva al cuadrado las desviaciones de x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Pendiente y ordenada en el origen

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Las líneas discontinuas son los residuos. Son pequeños, así que la recta se ajusta bien.

5

Predice

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Comprobación: la recta pasa por el punto de las medias, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Respuesta

ŷ = 2,1 + 1,3x, y la predicción para x = 6 es ŷ = 9,9.

6Errores frecuentes

  • Calcular el residuo como ŷ − y en lugar de y − ŷ.
  • Dividir entre Syy en lugar de entre Sxx para la pendiente.
  • Confundir a y b: la pendiente multiplica a x.
  • Olvidar que r tiene el mismo signo que la pendiente.
  • Predecir muy fuera del rango de los datos. Puede que allí la recta no se cumpla.
Autoevaluación La recta es ŷ = 2,1 + 1,3x. Se mide un nuevo punto (6, 8). ¿Cuál es su residuo?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Respuesta: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, así que e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. El punto queda por debajo de la recta. 1,9 calcula ŷ − y, al revés.

7Cómo son las preguntas de examen

  • Fácil: pendiente y ordenada en el origen. Cinco pares en una tabla; halla b o a de la recta de mínimos cuadrados.
  • Medio: el coeficiente de correlación r, a partir de los datos o de sumas dadas.
  • Difícil: predicción. Usa la recta para predecir ŷ para una nueva x, o halla el residuo de una nueva observación.

Una comprobación rápida: el signo de b y de r debe coincidir con la dirección del diagrama de dispersión.

Apréndelo paso a paso en la appApréndelo paso a paso en la app

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1Fácil
xy2441262082210301235xy510102030

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Halla la ordenada en el origen a.

n = 6

Calcula a

Mostrar pistas
  1. Halla primero la pendiente b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. La recta pasa por (x̄, ȳ), así que a = ȳ − b·x̄.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Sumas de cuadrados y de productos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Pendiente

b = 211/70 = 3,014

Ordenada en el origen

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Respuesta

a = −0,6
Ejemplo 2Media
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Calcula r

Mostrar pistas
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Sumas centradas

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Coeficiente de correlación

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Respuesta

r = 0,9746
Ejemplo 3Difícil
xy123221318412513xy241520x = 1,5

La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Calcula ŷ

Mostrar pistas
  1. Halla primero la recta de mínimos cuadrados: b = Sxy/Sxx y a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Mostrar la respuesta y la solución paso a paso

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Medias

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Sumas de cuadrados y de productos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Recta de regresión

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Predicción

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Respuesta

ŷ = 21,75

Preguntas y respuestas

Regresión lineal y correlación: ¿qué es?

Mides dos magnitudes en cada caso, por ejemplo x = horas estudiadas e y = nota del examen. Cada par es un punto en un diagrama de dispersión.

Si los puntos están aproximadamente a lo largo de una recta, puedes describirlos con una recta y usarla para predecir y a partir de x. Esto es la regresión lineal.

Regresión lineal y correlación: ¿cómo se resuelven los ejercicios paso a paso?

Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.

Regresión lineal y correlación: ¿cuáles son los errores más comunes?
  • La ordenada en el origen es a = ȳ − b·x̄: la recta pasa por (x̄, ȳ).
  • ȳ es la altura de la recta en x = x̄, no en x = 0. Usa a = ȳ − b·x̄.
  • Usa el mismo divisor (n o n − 1) en la covarianza y en las dos desviaciones típicas. Con Sxy, Sxx y Syy los divisores se cancelan.
Regresión lineal y correlación: ¿qué se practica?
  • Fácil: pendiente y ordenada en el origen
  • Media: coeficiente de correlación
  • Difícil: predicción

Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta. ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.

Cómo funciona la práctica

  • Cada problema tiene valores nuevos, así aprendes el método y no una respuesta.
  • ¿Te has atascado? Abre primero una pista pequeña y la explicación completa solo cuando la necesites.
  • Tu progreso, tus errores y tus problemas guardados se conservan para que puedas repasar antes del examen.

Temas antes y después de este

Aprende primero

Estadística descriptiva

Calculadoras

Calculadora de regresión linealCalculadora del coeficiente de correlación (Pearson y Spearman)

Asignaturas con este tema

Métodos de investigación y estadística en psicologíaIntroducción a la estadísticaEstadística 2: Inferencia estadísticaProblemas de práctica de AP StatisticsPráctica de métodos cuantitativos y renta fija del CFA Level I

Más temas de Matemáticas y estadística

LímitesDerivadasOptimizaciónIntegralesSucesiones y seriesCálculo multivariableEcuaciones diferencialesNúmeros complejosMétodos numéricosMatrices y determinantesVectores: producto escalar y vectorialLógica proposicional y demostracionesConjuntos, relaciones y funcionesTeoría de grafosTeoría de números y aritmética modularProbabilidadEstadística descriptivaDistribución normalIntervalos de confianzaContrastes de hipótesis e intervalos de confianzaPruebas de chi cuadrado

Hoja de ejercicios imprimible

Hoja de ejercicios de Regresión lineal y correlación con soluciones
Practica Regresión lineal y correlación gratisPractica Regresión lineal y correlación ahora5 problemas gratis cada día. Sin tarjeta.