Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁⁵ 5/x dx.

f(x) = 5/x[1, 5]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 2x² e y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla el radio de convergencia R de la serie de potencias Σ_k=1^∞ 5ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1).

Σ 5ᵏ·(x + 1)ᵏ/(k + 1)x₀ = −1

R =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Usa el polinomio de Maclaurin de grado 4 de f(x) = cos x para aproximar f(2). Da P₄(2).

f(x) = cos xn = 4x = 2

P₄(2) =

5.Cálculo multivariableMedia

z = −3xy³ − 3x² − xy con x = −t + 1 e y = −2t² + 1. Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = −1.

z = −3xy³ − 3x² − xyx = −t + 1y = −2t² + 1t = −1

dz/dt =

6.Cálculo multivariableDifícil

Halla los puntos críticos de f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 4y, clasifícalos y da el valor f_max de f en su máximo local.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 4y

f_max =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Resuelve y″ + 7y′ + 10y = 0 con y(0) = 5 e y′(0) = -2. Halla y(2).

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = -2

y(2) =

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un sistema obedece y″ + 2y′ + 17y = 17 para t ≥ 0, partiendo del reposo: y(0) = 0, y′(0) = 0. Halla y(1); ángulos en radianes.

y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 8,047

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 5·ln x

Evaluar en los límites

I = 5·(ln 5 − ln 1) = 5·ln 5 = 8,047

Respuesta

I = 8,047

2.Integrales

Respuesta: A = 0,3333

Puntos de corte

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Respuesta

A = 0,3333

3.Sucesiones y series

Respuesta: R = 0,2

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Coeficientes

c_k/c_k+1 = (1/5)·(k + 2)/(k + 1) → 0,2

Radio

R = 0,2

Respuesta

R = 0,2

El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.

4.Sucesiones y series

Respuesta: P₄(2) = −0,3333

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Polinomio de Maclaurin

P₄(x) = 1 − 0,5x² + 0,04167x⁴

Sustituir

P₄(2) = 1 − 2 + 0,666667 = −0,3333

Respuesta

P₄(2) = −0,3333

El valor exacto es f(2) = −0,416147; el error −0,0828135 disminuye si tomas más términos o un punto más cercano a 0.

5.Cálculo multivariable

Respuesta: dz/dt = −72

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto y tasas de variación

x(−1) = 2, y(−1) = −1

dx/dt = −1, dy/dt = −4t = 4

Derivadas parciales

f_x = −3y³ − 6x − y = −8

f_y = −9xy² − x = −20

Regla de la cadena

dz/dt = (−8)·(−1) + (−20)·4 = −72

Respuesta

dz/dt = −72

6.Cálculo multivariable

Respuesta: f_max = 20

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Puntos críticos

Resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez.

f_x = −(3x² − 12) = 0

f_y = −(2y − 4) = 0

(2, 2), (−2, 2)

Criterio de la segunda derivada

(2, 2): f_xx = −12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = 24 → máximo local

(−2, 2): f_xx = 12, f_yy = −2, f_xy = 0, D = −24 → punto de silla

Valor en el extremo

f(2, 2) = 20

Respuesta

f_max = 20

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(2) = 0,1403

Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = e^rt: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·e^rt (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.

Raíces características

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

Constantes a partir de los valores iniciales

A + B = 5, −2A − 5B = -2

A = 7,667, B = −2,667

Evalúa

y(2) = 7,667·e⁻⁴ + (−2,667)·e⁻¹⁰ = 0,1403

Respuesta

y(2) = 0,1403

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(1) = 1,31

Valor estacionario y raíces

y_ss = 1, r = −1 ± 4j

Constantes a partir de los valores iniciales

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0,25

Evalúa

y(1) = 1·(1 − e⁻¹(cos 4 + 0,25·sin 4)) = 1,31

Respuesta

y(1) = 1,31

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