Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x en radianes).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 0,5x² e y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Aplica el criterio de la raíz a Σ_k=1^∞ ((1k + 2)/(2k + 6))ᵏ. Halla L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((1k + 2)/(2k + 6))ᵏ

L =

4.Sucesiones y seriesDifícil

f(x) = sin x se aproxima en x = 0,5 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁶.

f(x) = sin xx = 0,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

n =

5.Cálculo multivariableMedia

Para f(x, y) = 3x²y − 4x² + 2y² − 3xy, halla la dirección de máximo crecimiento en (3, 3) como el ángulo θ desde el eje x positivo, en grados entre −180° y 180°.

f(x, y) = 3x²y − 4x² + 2y² − 3xyP = (3, 3)

θ = °

6.Cálculo multivariableDifícil

Los puntos marcados son los puntos críticos de f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y. Haz clic en el mínimo local.

f(x, y) = x³ − 3x + y² − 2y

1A (1, 1)
2B (−1, 1)

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 5 °C se saca del frigorífico a una habitación a 23 °C. Al cabo de 30 min su temperatura es 21 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 23 °CT(30) = 21 °C

k = min⁻¹

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + y/x = 4 para x > 0, con y(1) = 1. Halla y(3).

y′ + y/x = 4y(1) = 1

y(3) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 0,5708

Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.

Elige u y dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitiva

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Límites

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Respuesta

I = 0,5708

2.Integrales

Respuesta: A = 5,333

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Puntos de corte

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Respuesta

A = 5,333

3.Sucesiones y series

Respuesta: L = 0,5

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Raíz de los términos

|a_k|^1/k = (1k + 2)/(2k + 6) → 1/2

Conclusión

L = 0,5 < 1

Respuesta

L = 0,5

L < 1, así que la serie converge.

4.Sucesiones y series

Respuesta: n = 7

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Cotas para n creciente

n = 6: 1,55 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶

n = 7: 9,688 × 10⁻⁸ < 1 × 10⁻⁶

Menor grado

n = 7

Respuesta

n = 7

5.Cálculo multivariable

Respuesta: θ = 55,01 °

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Derivadas parciales

f_x = 6xy − 8x − 3y → f_x(3, 3) = 21

f_y = 3x² + 4y − 3x → f_y(3, 3) = 30

Dirección

θ = atan2(30, 21) = 55,01°

Respuesta

θ = 55,01°

6.Cálculo multivariable

Respuesta: A (1, 1)

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Puntos críticos

Resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez.

f_x = (3x² − 3) = 0

f_y = (2y − 2) = 0

(1, 1), (−1, 1)

Criterio de la segunda derivada

(1, 1): f_xx = 6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = 12 → mínimo local

(−1, 1): f_xx = −6, f_yy = 2, f_xy = 0, D = −12 → punto de silla

El punto

A (1, 1): mínimo local

Respuesta

A (1, 1)

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,07324 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−30k = -2/-18

Despeja k

k = ln(-18/-2)/30 = 0,07324 min⁻¹

Respuesta

k = 0,07324 min⁻¹

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(3) = 5,667

Factor integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrar

(x¹y)′ = 4x → x¹y = 4x²/2 + C

Condición inicial

1 = 4/2 + C → C = −1

Evalúa

y(3) = (4·3²/2 + (−1))/3¹ = 5,667

Respuesta

y(3) = 5,667

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