Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₂¹⁰ 1/x dx.

f(x) = 1/x[2, 10]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = x² e y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla la suma S = Σ_k=1¹⁵ 1/(k(k + 1)).

a_k = 1/(k(k + 1))n = 15

S =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Reconoce la serie y halla su suma: S = Σ_k=1^∞ k·0,2ᵏ.

a_k = k·0,2ᵏ

S =

5.Cálculo multivariableMedia

z = −4xy − 5x³ − 2y² con x = t − 1 e y = −2t². Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = 0.

z = −4xy − 5x³ − 2y²x = t − 1y = −2t²t = 0

dz/dt =

6.Cálculo multivariableDifícil

Los puntos marcados son los puntos críticos de f(x, y) = x³ + y³ − 6xy. Haz clic en el mínimo local.

f(x, y) = x³ + y³ − 6xy

1A (2, 2)
2B (0, 0)

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 500 °C se deja enfriar en un taller a 27 °C. Al cabo de 45 min su temperatura es 219 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 500 °CT_a = 27 °CT(45) = 219 °C

k = min⁻¹

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Un depósito contiene 1000 L de agua en la que hay disueltos 5 kg de sal. Entra salmuera con 0,1 kg de sal por litro a 2 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Al cabo de cuántos minutos t contiene el depósito 43 kg de sal?

V = 1000 Lm₀ = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min

t = min

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 1,609

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = ln x

Evaluar en los límites

I = (ln 10 − ln 2) = ln 5 = 1,609

Respuesta

I = 1,609

2.Integrales

Respuesta: A = 10,67

Puntos de corte

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Respuesta

A = 10,67

3.Sucesiones y series

Respuesta: S = 0,9375

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Fracciones parciales

1/(k(k + 1)) = 1·(1/k − 1/(k + 1))

Cancelar

S = 1·(1 − 1/16) = 0,9375

Respuesta

S = 0,9375

4.Sucesiones y series

Respuesta: S = 0,3125

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Series estándar

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

Sustituir

x = 0,2

S = 0,2/(1 − 0,2)² = 0,3125

Respuesta

S = 0,3125

5.Cálculo multivariable

Respuesta: dz/dt = −15

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto y tasas de variación

x(0) = −1, y(0) = 0

dx/dt = 1, dy/dt = −4t = 0

Derivadas parciales

f_x = −4y − 15x² = −15

f_y = −4x − 4y = 4

Regla de la cadena

dz/dt = (−15)·1 + 4·0 = −15

Respuesta

dz/dt = −15

6.Cálculo multivariable

Respuesta: A (2, 2)

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Puntos críticos

Resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez.

f_x = 3x² − 6y = 0

f_y = 3y² − 6x = 0

(0, 0), (2, 2)

Criterio de la segunda derivada

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −6, D = −36 → punto de silla

(2, 2): f_xx = 12, f_yy = 12, f_xy = −6, D = 108 → mínimo local

El punto

A (2, 2): mínimo local

Respuesta

A (2, 2)

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,02004 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−45k = 192/473

Despeja k

k = ln(473/192)/45 = 0,02004 min⁻¹

Respuesta

k = 0,02004 min⁻¹

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: t = 255,4 min

Resultado

m(t) = 100 + (−95)·e^−t/500

Despeja t

e^−t/500 = (100 − 43)/(100 − 5) = 0,6

t = 500·ln(1,667) = 255,4 min

Respuesta

t = 255,4 min

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