Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₁⁵ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 5]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = 0,5x² e y = 2x.

y = 0,5x²y = 2x

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Aplica el criterio de la raíz a Σ_k=1^∞ ((5k + 1)/(2k + 1))ᵏ. Halla L = lim |a_k|^1/k.

a_k = ((5k + 1)/(2k + 1))ᵏ

L =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Halla el coeficiente c₄ de (x + 1)⁴ en la serie de Taylor de f(x) = e^−x alrededor de a = −1.

f(x) = e^−xa = −1k = 4

c₄ =

5.Cálculo multivariableMedia

Para f(x, y) = 3x³y³ + 5x² − 2xy, halla la derivada direccional D_uf en (2, −2) en la dirección de v = (3, −2).

f(x, y) = 3x³y³ + 5x² − 2xyP = (2, −2)v = (3, −2)

D_uf =

6.Cálculo multivariableDifícil

La integral I = ∫₀^0,8 ∫_x^0,8 sin(y²) dy dx no se puede calcular en este orden. Invierte el orden de integración y calcúlala.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 0,8

I =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 4 °C se saca del frigorífico a una habitación a 23 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,08 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 19 min.

T₀ = 4 °CT_a = 23 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 19 min

T = °C

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + 2y/x = 6x² para x > 0, con y(1) = −3. Halla y(2).

y′ + 2y/x = 6x²y(1) = −3

y(2) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 3,219

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = 2·ln x

Evaluar en los límites

I = 2·(ln 5 − ln 1) = 2·ln 5 = 3,219

Respuesta

I = 3,219

2.Integrales

Respuesta: A = 5,333

Puntos de corte

0,5x² = 2x → x = 0, x = 4

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,1667x³]₀⁴ = 5,333

Respuesta

A = 5,333

3.Sucesiones y series

Respuesta: L = 2,5

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Raíz de los términos

|a_k|^1/k = (5k + 1)/(2k + 1) → 5/2

Conclusión

L = 2,5 > 1

Respuesta

L = 2,5

L > 1, así que la serie diverge.

4.Sucesiones y series

Respuesta: c₄ = 0,1133

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Derivada f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = (−1)⁴·e^−x

Coeficiente

c₄ = (−1)⁴·e¹/4! = 0,1133

c₄ = 0,1133

Respuesta

c₄ = 0,1133

5.Cálculo multivariable

Respuesta: D_uf = −377,2

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradiente en el punto

f_x = 9x²y³ + 10x − 2y → f_x(2, −2) = −264

f_y = 9x³y² − 2x → f_y(2, −2) = 284

Vector unitario

|v| = √(3² + (−2)²) = 3,606

u = (0,8321, −0,5547)

Producto escalar

D_uf = (−264)·0,8321 + 284·(−0,5547) = −377,2

Respuesta

D_uf = −377,2

6.Cálculo multivariable

Respuesta: I = 0,09895

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Región

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 0,8

Orden invertido

I = ∫₀^0,8 ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀^0,8 y·sin(y²) dy

Sustitución u = y²

I = [−cos(y²)/2]₀^0,8 = 0,09895

Respuesta

I = 0,09895

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: T = 18,84 °C

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Solución de la ley de enfriamiento

T(t) = 23 + (−19)·e^−0,08t

Sustituye t

T(19) = 23 + (−19)·0,2187 = 18,84 °C

Respuesta

T = 18,84 °C

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(2) = 8,55

Factor integrante

μ = e^{∫2/x dx} = x²

Integrar

(x²y)′ = 6x⁴ → x²y = 6x⁵/5 + C

Condición inicial

−3 = 6/5 + C → C = −4,2

Evalúa

y(2) = (6·2⁵/5 + (−4,2))/2² = 8,55

Respuesta

y(2) = 8,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2