Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región encerrada entre y = x² e y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla el radio de convergencia R de la serie de potencias Σ_k=1^∞ (1/2)ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1).

Σ (1/2)ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1)x₀ = 3

R =

4.Sucesiones y seriesDifícil

f(x) = eˣ se aproxima en x = 0,5 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 2, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.Cálculo multivariableMedia

El plano tangente a z = 3x²y³ − x² + 4y³ − xy en el punto donde (x, y) = (−2, −2) se puede escribir como z = px + qy + c. Halla c.

f(x, y) = 3x²y³ − x² + 4y³ − xy(a, b) = (−2, −2)

c =

6.Cálculo multivariableDifícil

f(x, y) = −x² + 3xy − 2y² + 1 tiene un punto crítico en (0, 0). Calcula allí el discriminante D = f_xxf_yy − f_xy².

f(x, y) = −x² + 3xy − 2y² + 1P = (0, 0)

D =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una pieza de acero forjado a 380 °C se deja enfriar en un taller a 27 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,03 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 24 min.

T₀ = 380 °CT_a = 27 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 24 min

T = °C

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve y′ + 2y = 2e^−3t con y(0) = 0. Halla y(0,5).

y′ + 2y = 2e^−3ty(0) = 0

y(0.5) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 3,195

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^2x/2

Evaluar en los límites

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Respuesta

I = 3,195

2.Integrales

Respuesta: A = 1,333

Puntos de corte

x² = 2x → x = 0, x = 2

Integrar superior menos inferior

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Respuesta

A = 1,333

3.Sucesiones y series

Respuesta: R = 2

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Coeficientes

c_k/c_k+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2

Radio

R = 2

Respuesta

R = 2

El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.

4.Sucesiones y series

Respuesta: n = 6

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Cotas para n creciente

n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Menor grado

n = 6

Respuesta

n = 6

5.Cálculo multivariable

Respuesta: c = 456

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Valor y pendientes en el punto

f(−2, −2) = −136

f_x = 6xy³ − 2x − y → f_x(−2, −2) = 102

f_y = 9x²y² + 12y² − x → f_y(−2, −2) = 194

Plano tangente

z = −136 + 102(x + 2) + 194(y + 2)

z = 102x + 194y + 456

Término constante

c = 456

Respuesta

c = 456

6.Cálculo multivariable

Respuesta: D = −1

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Derivadas segundas

f_xx = −2, f_yy = −4, f_xy = 3

Discriminante

D = (−2)·(−4) − 3² = −1

→ punto de silla

Respuesta

D = −1

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: T = 198,8 °C

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Solución de la ley de enfriamiento

T(t) = 27 + 353·e^−0,03t

Sustituye t

T(24) = 27 + 353·0,4868 = 198,8 °C

Respuesta

T = 198,8 °C

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(0.5) = 0,2895

Factor integrante

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 2e^−t

Solución general

y = 2/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −2·e^−3t + C·e^−2t

Condición inicial

0 = −2 + C → C = 2

Evalúa

y(0,5) = −2·0,2231 + 2·0,3679 = 0,2895

Respuesta

y(0,5) = 0,2895

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