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1Fórmulas y métodos
Integrales
Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx
Método
Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Cálculo multivariable
Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Método
En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.IntegralesMedia
Calcula I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
2.IntegralesDifícil
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 1 − x² y el eje x.
y = 1 − x²
A =
3.Sucesiones y seriesMedia
Halla la suma S = Σk=1∞ 3/(k(k + 1)).
ak = 3/(k(k + 1))
S =
4.Sucesiones y seriesDifícil
Halla el coeficiente c₂ de (x − 1)² en la serie de Taylor de f(x) = e3x alrededor de a = 1.
f(x) = e3xa = 1k = 2
c₂ =
5.Cálculo multivariableMedia
El plano tangente a z = 2x²y² + 3x² + 5y³ − 3xy en el punto donde (x, y) = (−2, 2) se puede escribir como z = px + qy + c. Halla c.
f(x, y) = 2x²y² + 3x² + 5y³ − 3xy(a, b) = (−2, 2)
c =
6.Cálculo multivariableDifícil
Los puntos marcados son los puntos críticos de f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y. Haz clic en el máximo local.
f(x, y) = −x³ + 3x − y² + 4y
1A (−1, 2)
2B (1, 2)
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una taza de café a 91 °C se deja en una habitación a 21 °C. Al cabo de 20 min su temperatura es 59 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 40 °C?
T0 = 91 °CTa = 21 °CT(20) = 59 °CT = 40 °C
t = min
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un depósito contiene 500 L de agua en la que hay disueltos 10 kg de sal. Entra salmuera con 0,05 kg de sal por litro a 4 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Al cabo de cuántos minutos t contiene el depósito 16 kg de sal?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
3Disoluciones
1.Integrales
Respuesta: I = 12
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Sustitución
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du
Integrar y evaluar
I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12
Respuesta
I = 12
2.Integrales
Respuesta: A = 1,333
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Ceros
1 − x² = 0 → x = ±1
Integrar
A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333
Respuesta
A = 1,333
3.Sucesiones y series
Respuesta: S = 3
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Fracciones parciales
3/(k(k + 1)) = 3·(1/k − 1/(k + 1))
Cancelar
S = 3·1 = 3
Respuesta
S = 3
4.Sucesiones y series
Respuesta: c₂ = 90,38
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Derivada f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 3²·e3x
Coeficiente
c₂ = 3²·e3/2! = 90,38
c₂ = 90,38
Respuesta
c₂ = 90,38
5.Cálculo multivariable
Respuesta: c = −200
Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Valor y pendientes en el punto
f(−2, 2) = 96
fx = 4xy² + 6x − 3y → fx(−2, 2) = −50
fy = 4x²y + 15y² − 3x → fy(−2, 2) = 98
Plano tangente
z = 96 − 50(x + 2) + 98(y − 2)
z = −50x + 98y − 200
Término constante
c = −200
Respuesta
c = −200
6.Cálculo multivariable
Respuesta: B (1, 2)
Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).
Puntos críticos
Resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez.
fx = −(3x² − 3) = 0
fy = −(2y − 4) = 0
(1, 2), (−1, 2)
Criterio de la segunda derivada
(1, 2): fxx = −6, fyy = −2, fxy = 0, D = 12 → máximo local
(−1, 2): fxx = 6, fyy = −2, fxy = 0, D = −12 → punto de silla
El punto
B (1, 2): máximo local
Respuesta
B (1, 2)
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: t = 42,69 min
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Constante de enfriamiento
k = ln(70/38)/20 = 0,03055 min⁻¹
Tiempo hasta alcanzar el objetivo
t = ln(70/19)/0,03055 = 42,69 min
Respuesta
t = 42,69 min
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: t = 63,85 min
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.