Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀² e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 2]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 1 − x² y el eje x.

y = 1 − x²

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla el radio de convergencia R de la serie de potencias Σ_k=1^∞ 16ᵏx²ᵏ/k.

Σ 16ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Usa el polinomio de Maclaurin de grado 3 de f(x) = e^2x para aproximar f(1,2). Da P₃(1,2).

f(x) = e^2xn = 3x = 1,2

P₃(1.2) =

5.Cálculo multivariableMedia

z = −xy + x² − y² con x = t − 1 e y = t². Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = 1.

z = −xy + x² − y²x = t − 1y = t²t = 1

dz/dt =

6.Cálculo multivariableDifícil

La integral I = ∫₀² ∫_y² 1/(1 + x²)² dx dy no se puede calcular en este orden. Invierte el orden de integración y calcúlala.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 2

I =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 4 °C se saca del frigorífico a una habitación a 27 °C. Al cabo de 8 min su temperatura es 9 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Halla la constante k en min⁻¹.

T₀ = 4 °CT_a = 27 °CT(8) = 9 °C

k = min⁻¹

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + y/x = 3x² para x > 0, con y(1) = 5. Halla y(2).

y′ + y/x = 3x²y(1) = 5

y(2) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 3,437

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Primitiva

F(x) = e^0,5x/0,5

Evaluar en los límites

I = (e¹ − 1)/0,5 = (2,718 − 1)/0,5 = 3,437

Respuesta

I = 3,437

2.Integrales

Respuesta: A = 1,333

Ceros

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrar

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Respuesta

A = 1,333

3.Sucesiones y series

Respuesta: R = 0,25

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Coeficientes

La serie está en x²: converge para 16·x² < 1, es decir |x| < 1/4.

Radio

R = 0,25

Respuesta

R = 0,25

El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.

4.Sucesiones y series

Respuesta: P₃(1.2) = 8,584

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Polinomio de Maclaurin

P₃(x) = 1 + 2x + 2x² + 1,333x³

Sustituir

P₃(1,2) = 1 + 2,4 + 2,88 + 2,304 = 8,584

Respuesta

P₃(1,2) = 8,584

El valor exacto es f(1,2) = 11,023176; el error 2,439176 disminuye si tomas más términos o un punto más cercano a 0.

5.Cálculo multivariable

Respuesta: dz/dt = −5

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Punto y tasas de variación

x(1) = 0, y(1) = 1

dx/dt = 1, dy/dt = 2t = 2

Derivadas parciales

f_x = −y + 2x = −1

f_y = −x − 2y = −2

Regla de la cadena

dz/dt = (−1)·1 + (−2)·2 = −5

Respuesta

dz/dt = −5

6.Cálculo multivariable

Respuesta: I = 0,4

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Región

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 2

Orden invertido

I = ∫₀² ∫₀^x 1/(1 + x²)² dy dx = ∫₀² x·1/(1 + x²)² dx

Sustitución u = x²

I = [−1/(2(1 + x²))]₀² = 0,4

Respuesta

I = 0,4

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: k = 0,03064 min⁻¹

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Cociente de diferencias de temperatura

e^−8k = -18/-23

Despeja k

k = ln(-23/-18)/8 = 0,03064 min⁻¹

Respuesta

k = 0,03064 min⁻¹

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(2) = 8,125

Factor integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrar

(x¹y)′ = 3x³ → x¹y = 3x⁴/4 + C

Condición inicial

5 = 3/4 + C → C = 4,25

Evalúa

y(2) = (3·2⁴/4 + 4,25)/2¹ = 8,125

Respuesta

y(2) = 8,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2