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1Fórmulas y métodos
Integrales
Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx
Método
Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Cálculo multivariable
Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Método
En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.IntegralesMedia
Calcula I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
2.IntegralesDifícil
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 9 − x² y el eje x.
y = 9 − x²
A =
3.Sucesiones y seriesMedia
Exactamente una de las cuatro series diverge. Haz clic en ella.
Reconoce la serie y halla su suma: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ·0,82k+1/(2k + 1)!.
ak = (−1)ᵏ·0,82k+1/(2k + 1)!
S =
5.Cálculo multivariableMedia
El plano tangente a z = −2x²y + 2x² − 2y³ + xy en el punto donde (x, y) = (1, −1) se puede escribir como z = px + qy + c. Halla c.
f(x, y) = −2x²y + 2x² − 2y³ + xy(a, b) = (1, −1)
c =
6.Cálculo multivariableDifícil
Calcula I = ∬R y dA, donde R es la región comprendida entre la parábola y = x² y la recta y = 2x.
y = x²y = 2xf = y
I =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Resuelve y″ + 2y′ + y = 0 con y(0) = 3 e y′(0) = 0. Halla y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Resuelve y″ + 3y′ + 18,25y = 0 con y(0) = 1 e y′(0) = 0 (soltado desde el reposo). Halla y(0,5); ángulos en radianes.
y″ + 3y′ + 18,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
3Disoluciones
1.Integrales
Respuesta: I = 41,33
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Sustitución
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du
Integrar y evaluar
I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41,33
Respuesta
I = 41,33
2.Integrales
Respuesta: A = 36
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Ceros
9 − x² = 0 → x = ±3
Integrar
A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36
Respuesta
A = 36
3.Sucesiones y series
Respuesta: B: Σ ln k / k
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Prueba cada serie
A: Σ (2/3)ᵏ → Geométrica con r = 2/3, |r| < 1: converge.
B: Σ ln k / k → Mayor que 1/k para k ≥ 3: diverge por comparación con la serie armónica.
C: Σ (−1)ᵏ/k → Alternada, con 1/k decreciendo hacia 0: converge (condicionalmente).
D: Σ 1/(2ᵏ + k) → Menor que (1/2)ᵏ, una serie geométrica convergente: converge por comparación.
La respuesta
B: Σ ln k / k
Respuesta
B: Σ ln k / k
4.Sucesiones y series
Respuesta: S = 0,7174
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Series estándar
Σ (−1)ᵏx2k+1/(2k + 1)! = sin x
Sustituir
x = 0,8
S = sin 0,8 = 0,7174
Respuesta
S = 0,7174
5.Cálculo multivariable
Respuesta: c = −9
Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Valor y pendientes en el punto
f(1, −1) = 5
fx = −4xy + 4x + y → fx(1, −1) = 7
fy = −2x² − 6y² + x → fy(1, −1) = −7
Plano tangente
z = 5 + 7(x − 1) − 7(y + 1)
z = 7x − 7y − 9
Término constante
c = −9
Respuesta
c = −9
6.Cálculo multivariable
Respuesta: I = 2,133
Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).
Intersecciones
x² = 2x → x = 0, x = 2
Integral interior
∫x²2x y dy = [y²/2] = (4x² − x⁴)/2
Integral exterior
I = ∫02 (4x² − x⁴)/2 dx = 2,133
Respuesta
I = 2,133
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(0.5) = 2,729
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.
Raíz doble
(r + 1)² = 0 → r = −1
Constantes
A = y(0) = 3
y′(0) = B − 1A → B = 0 + 3 = 3
Evalúa
y(0,5) = (3 + 3·0,5)·e−0,5 = 2,729
Respuesta
y(0,5) = 2,729
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(0.5) = −0,0355
Ecuaciones lineales de segundo orden: para y″ + b·y′ + c·y = 0 prueba y = ert: esto da la ecuación característica r² + b·r + c = 0. Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ dan y = A·er₁t + B·er₂t (sobreamortiguado); una raíz doble r da y = (A + Bt)·ert (amortiguamiento crítico); las raíces complejas −α ± jω dan y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (subamortiguado, oscilante). Los valores iniciales y(0) e y′(0) fijan A y B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn es la frecuencia natural y ζ el factor de amortiguamiento: con ζ < 1 hay oscilación. Con una entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, la solución es el valor estacionario K más la respuesta libre.