Cálculo 2: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 8 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Integrales

Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas: ∫_a^b (f − g) dx

Método

Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de e^x, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).

Sucesiones y series

Sucesión aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinomio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Cálculo multivariable

Derivadas parciales: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradiente: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Derivada direccional: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Criterio de la segunda derivada: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Coordenadas polares: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Método

En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (f_x, f_y) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve f_x = 0 y f_y = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = f_xx·f_yy − f_xy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.

Ecuaciones diferenciales

Crecimiento/decrecimiento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Periodo de semidesintegración: k = ln 2 / t_½
Ley de enfriamiento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Factor integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Problemas de práctica

1.IntegralesMedia

Calcula I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 1]

I =

2.IntegralesDifícil

Calcula el área A de la región entre la parábola y = 1 − x² y el eje x.

y = 1 − x²

A =

3.Sucesiones y seriesMedia

Halla el radio de convergencia R de la serie de potencias Σ_k=1^∞ (x − 3)ᵏ/(k·4ᵏ).

Σ (x − 3)ᵏ/(k·4ᵏ)x₀ = 3

R =

4.Sucesiones y seriesDifícil

Reconoce la serie y halla su suma: S = Σ_k=0^∞ (−1)ᵏ/k!.

a_k = (−1)ᵏ/k!

S =

5.Cálculo multivariableMedia

Para f(x, y) = 5 sin(3x + y), halla la derivada direccional D_uf en (2, −1) en la dirección de v = (3, 2).

f(x, y) = 5 sin(3x + y)P = (2, −1)v = (3, 2)

D_uf =

6.Cálculo multivariableDifícil

Usa coordenadas polares para calcular I = ∬_R √(x² + y²) dA, donde R es el cuarto del disco x² + y² ≤ 9 en el primer cuadrante.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 30 ≤ θ ≤ π/2

I =

7.Ecuaciones diferencialesMedia

Una lata de refresco a 5 °C se saca del frigorífico a una habitación a 27 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,09 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 21 min.

T₀ = 5 °CT_a = 27 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 21 min

T = °C

8.Ecuaciones diferencialesDifícil

Resuelve el problema de valor inicial y′ + y/x = 5x para x > 0, con y(1) = −2. Halla y(3).

y′ + y/x = 5xy(1) = −2

y(3) =

3Disoluciones

1.Integrales

Respuesta: I = 1,5

Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.

Sustitución

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u¹ du

Integrar y evaluar

I = [u²/2]₁² = (4 − 1)/2 = 1,5

Respuesta

I = 1,5

2.Integrales

Respuesta: A = 1,333

Ceros

1 − x² = 0 → x = ±1

Integrar

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Respuesta

A = 1,333

3.Sucesiones y series

Respuesta: R = 4

Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |a_k+1/a_k|; criterio de la raíz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |c_k/c_k+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.

Coeficientes

c_k/c_k+1 = 4·((k + 1)/k) → 4

Radio

R = 4

Respuesta

R = 4

El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.

4.Sucesiones y series

Respuesta: S = 0,3679

Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.

Series estándar

Σ xᵏ/k! = eˣ

Sustituir

x = −1

S = e⁻¹ = 0,3679

Respuesta

S = 0,3679

5.Cálculo multivariable

Respuesta: D_uf = 4,327

Gradiente: ∇f = (f_x, f_y) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es D_uf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Gradiente en el punto

f_x = 15 cos(3x + y) → f_x(2, −1) = 4,255

f_y = 5 cos(3x + y) → f_y(2, −1) = 1,418

Vector unitario

|v| = √(3² + 2²) = 3,606

u = (0,8321, 0,5547)

Producto escalar

D_uf = 4,255·0,8321 + 1,418·0,5547 = 4,327

Respuesta

D_uf = 4,327

6.Cálculo multivariable

Respuesta: I = 14,14

Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple f_x = f_y = 0. Criterio de la segunda derivada con D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 y f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 y f_xx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).

Forma polar

I = ∫₀^π/2 ∫₀³ r·r dr dθ

Integrar

∫ r·r dr = [r³/3]

I = 14,14

Respuesta

I = 14,14

7.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: T = 23,68 °C

Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·e^kt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.

Solución de la ley de enfriamiento

T(t) = 27 + (−22)·e^−0,09t

Sustituye t

T(21) = 27 + (−22)·0,1511 = 23,68 °C

Respuesta

T = 23,68 °C

8.Ecuaciones diferenciales

Respuesta: y(3) = 13,78

Factor integrante

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrar

(x¹y)′ = 5x² → x¹y = 5x³/3 + C

Condición inicial

−2 = 5/3 + C → C = −3,667

Evalúa

y(3) = (5·3³/3 + (−3,667))/3¹ = 13,78

Respuesta

y(3) = 13,78

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