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1Fórmulas y métodos
Integrales
Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx
Método
Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Cálculo multivariable
Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Método
En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.IntegralesMedia
Calcula I = ∫₁6 x·ln x dx.
∫₁6 x ln x dx
I =
2.IntegralesDifícil
Calcula el área A de la región entre la parábola y = 1 − x² y el eje x.
y = 1 − x²
A =
3.Sucesiones y seriesMedia
Aplica el criterio del cociente a Σk=1∞ (k!)²·8ᵏ/(2k)!. Halla L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·8ᵏ/(2k)!
L =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = sin x se aproxima en x = 1,5 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Cálculo multivariableMedia
z = −4x²y² + 3x³ − y² − 3xy con x = t e y = −t². Usa la regla de la cadena para hallar dz/dt en t = 2.
z = −4x²y² + 3x³ − y² − 3xyx = ty = −t²t = 2
dz/dt =
6.Cálculo multivariableDifícil
Usa coordenadas polares para calcular I = ∬R (x² + y²) dA, donde R es la mitad superior del disco x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).
f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π
I =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una lata de refresco a 3 °C se saca del frigorífico a una habitación a 30 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Con k = 0,07 min⁻¹, halla su temperatura T al cabo de 6 min.
T0 = 3 °CTa = 30 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 6 min
T = °C
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Resuelve el problema de valor inicial y′ + 2y/x = 5 para x > 0, con y(1) = −3. Halla y(2).
y′ + 2y/x = 5y(1) = −3
y(2) =
3Disoluciones
1.Integrales
Respuesta: I = 23,5
Integración por partes: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, a partir de la regla del producto. Elige como u el factor que se simplifica al derivarlo (una potencia de x, o ln x), y como dv el factor que sabes integrar (eˣ, sin x, cos x, o x cuando u = ln x). En una integral definida, evalúa u·v en ambos límites: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Un factor x² necesita dos vueltas.
Elige u y dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
Primitiva
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
Límites
(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5
Respuesta
I = 23,5
2.Integrales
Respuesta: A = 1,333
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Ceros
1 − x² = 0 → x = ±1
Integrar
A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333
Respuesta
A = 1,333
3.Sucesiones y series
Respuesta: L = 2
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Cociente de términos consecutivos
|ak+1/ak| = 8·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 8/4
Conclusión
L = 2 > 1
Respuesta
L = 2
L > 1, así que la serie diverge.
4.Sucesiones y series
Respuesta: n = 10
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cotas para n creciente
n = 9: 1,589 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 10: 2,167 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
Menor grado
n = 10
Respuesta
n = 10
5.Cálculo multivariable
Respuesta: dz/dt = −728
Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Punto y tasas de variación
x(2) = 2, y(2) = −4
dx/dt = 1, dy/dt = −2t = −4
Derivadas parciales
fx = −8xy² + 9x² − 3y = −208
fy = −8x²y − 2y − 3x = 130
Regla de la cadena
dz/dt = (−208)·1 + 130·(−4) = −728
Respuesta
dz/dt = −728
6.Cálculo multivariable
Respuesta: I = 12,57
Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).
Forma polar
I = ∫0π ∫02 r²·r dr dθ
Integrar
∫ r²·r dr = [r⁴/4]
I = 12,57
Respuesta
I = 12,57
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: T = 12,26 °C
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Solución de la ley de enfriamiento
T(t) = 30 + (−27)·e−0,07t
Sustituye t
T(6) = 30 + (−27)·0,657 = 12,26 °C
Respuesta
T = 12,26 °C
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: y(2) = 2,167
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.