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1Fórmulas y métodos
Integrales
Regla de la potencia
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Integral definida
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Integrales habituales
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Área entre curvas
∫ab (f − g) dx
Método
Reescribe el integrando como suma de términos sencillos siempre que puedas.
Aplica la regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), y las integrales inmediatas de ex, 1/x, sin y cos.
Usa un cambio de variable cuando veas una función junto con su derivada.
En una integral definida, calcula F(b) − F(a).
Sucesiones y series
Sucesión aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sucesión geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Series geométricas infinitas
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Serie p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Criterio del cociente
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Radio de convergencia
R = lim |ck/ck+1|
Polinomio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Serie de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota del error de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifica el tipo: aritmética (diferencia constante), geométrica (razón constante), una serie estándar, una serie de potencias o un polinomio de Taylor.
Para las sumas usa Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), o S = a₁/(1 − r) cuando |r| < 1, con a₁ el primer término de la suma.
Para la convergencia: primero el criterio del término n-ésimo, luego compara con Σ1/kᵖ o con una serie geométrica, y usa el criterio del cociente o de la raíz para factoriales y potencias k-ésimas.
Para los polinomios de Taylor enumera f(a), f′(a), f″(a), …, divide la derivada k-ésima entre k! y acota el error con M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Cálculo multivariable
Derivadas parciales
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiente
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Derivada direccional
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Plano tangente
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Regla de la cadena
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Criterio de la segunda derivada
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Integral doble
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Coordenadas polares
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Método
En una derivada parcial, trata la otra variable como una constante y usa las reglas de una variable.
En las preguntas de gradiente calcula ∇f = (fx, fy) en el punto; usa |∇f| para la pendiente máxima y ∇f·u con un vector unitario u para una derivada direccional.
Para los extremos resuelve fx = 0 y fy = 0 a la vez y luego clasifica cada punto con D = fxx·fyy − fxy².
En una integral doble dibuja la región, elige el orden (o coordenadas polares para los discos) de modo que los límites interiores sean las curvas que la acotan, e integra primero la interior.
Ecuaciones diferenciales
Crecimiento/decrecimiento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Periodo de semidesintegración
k = ln 2 / t½
Ley de enfriamiento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Factor integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Depósito de mezcla
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Problemas de práctica
1.IntegralesMedia
Calcula I = ∫01 e−x dx.
f(x) = e−x[0, 1]
I =
2.IntegralesDifícil
Calcula el área A de la región encerrada entre y = x2 e y = 2x.
y = x2y = 2x
A =
3.Sucesiones y seriesMedia
La serie de potencias Σk=1∞ 3ᵏ·(x − 2)ᵏ/(k + 1) converge en un intervalo alrededor de x₀ = 2. Halla el extremo izquierdo x de ese intervalo.
Σ 3ᵏ·(x − 2)ᵏ/(k + 1)x₀ = 2
x =
4.Sucesiones y seriesDifícil
f(x) = cos x se aproxima en x = 2 por su polinomio de Maclaurin de grado n. Con la cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y M = 1, halla el menor grado n que garantiza un error inferior a 1 × 10⁻⁶.
f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁶
n =
5.Cálculo multivariableMedia
El plano tangente a z = 3x³y³ + x² + 5y² + 2xy en el punto donde (x, y) = (3, 3) se puede escribir como z = px + qy + c. Halla c.
f(x, y) = 3x³y³ + x² + 5y² + 2xy(a, b) = (3, 3)
c =
6.Cálculo multivariableDifícil
Calcula I = ∬T (3x + 3y) dA sobre el triángulo T limitado por y = 0, x = 2 e y = 3x.
f = 3x + 3y0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 3x
I =
7.Ecuaciones diferencialesMedia
Una lata de refresco a 6 °C se saca del frigorífico a una habitación a 28 °C. Al cabo de 27 min su temperatura es 25 °C. Sigue la ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). ¿Cuánto tiempo después del inicio, t, tarda en alcanzar 12 °C?
T0 = 6 °CTa = 28 °CT(27) = 25 °CT = 12 °C
t = min
8.Ecuaciones diferencialesDifícil
Un depósito contiene 400 L de agua pura. Entra salmuera con 0,05 kg de sal por litro a 10 L/min, y la disolución bien mezclada sale al mismo caudal. ¿Cuánta sal m hay en el depósito al cabo de 45 min?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3Disoluciones
1.Integrales
Respuesta: I = 0,6321
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Primitiva
F(x) = e−x/(−1)
Evaluar en los límites
I = (e−1 − 1)/(−1) = (0,3679 − 1)/(−1) = 0,6321
Respuesta
I = 0,6321
2.Integrales
Respuesta: A = 1,333
Integrales definidas: ∫ₐᵇ f(x) dx es el área con signo entre la gráfica y el eje x de a a b. Busca una primitiva F (con F′ = f) y calcula F(b) − F(a). Regla de la potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). El área entre dos curvas es ∫(superior − inferior) dx.
Puntos de corte
x2 = 2x → x = 0, x = 2
Integrar superior menos inferior
A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333
Respuesta
A = 1,333
3.Sucesiones y series
Respuesta: x = 1,667
Convergencia: si los términos no tienden a 0, la serie diverge (criterio del término n-ésimo). Σ1/kᵖ converge solo para p > 1, y Σrᵏ solo para |r| < 1. Compara una serie con una de estas cuando sus términos se comporten como ellas para k grande. Criterio del cociente: L = lim |ak+1/ak|; criterio de la raíz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 no decide nada. Una serie de potencias Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R con R = lim |ck/ck+1|; una serie alternada con términos decrecientes hacia 0 converge.
Coeficientes
ck/ck+1 = (1/3)·(k + 2)/(k + 1) → 0,3333
Radio
R = 0,3333
Intervalo
1,667 < x < 2,333
x = 1,667
Respuesta
x = 1,667
El criterio del cociente no dice nada en los dos extremos; hay que comprobarlos por separado.
4.Sucesiones y series
Respuesta: n = 13
Polinomios de Taylor: cerca de x = a una función suave se aproxima por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 es el polinomio de Maclaurin. Series estándar: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota del error de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
Cotas para n creciente
n = 12: 1,316 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 13: 1,879 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶
Menor grado
n = 13
Respuesta
n = 13
5.Cálculo multivariable
Respuesta: c = −11007
Gradiente: ∇f = (fx, fy) apunta en la dirección de máximo crecimiento, y |∇f| es la mayor tasa de variación. La derivada direccional a lo largo de una dirección v es Duf = ∇f·u con el vector unitario u = v/|v|. El plano tangente en (a, b) es z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); da la aproximación lineal de f cerca de ese punto. Regla de la cadena: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Valor y pendientes en el punto
f(3, 3) = 2259
fx = 9x²y³ + 2x + 2y → fx(3, 3) = 2199
fy = 9x³y² + 10y + 2x → fy(3, 3) = 2223
Plano tangente
z = 2259 + 2199(x − 3) + 2223(y − 3)
z = 2199x + 2223y − 11007
Término constante
c = −11007
Respuesta
c = −11007
6.Cálculo multivariable
Respuesta: I = 60
Puntos críticos e integrales dobles: un punto crítico cumple fx = fy = 0. Criterio de la segunda derivada con D = fxxfyy − fxy²: D > 0 y fxx > 0 es un mínimo local, D > 0 y fxx < 0 un máximo local, D < 0 un punto de silla, y D = 0 no decide nada. En una integral doble sobre una región general, los límites interiores son las curvas que acotan la región; para discos y sectores usa coordenadas polares, x = r cos θ, y = r sin θ y dA = r dr dθ (no olvides el factor r).
Límites
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3x
Integral interior
∫03x (3x + 3y) dy = 3x·3x + 3·(3x)²/2 = 22,5x²
Integral exterior
I = 22,5·2³/3 = 60
Respuesta
I = 60
7.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: t = 4,315 min
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Constante de enfriamiento
k = ln(-22/-3)/27 = 0,07379 min⁻¹
Tiempo hasta alcanzar el objetivo
t = ln(-22/(−16))/0,07379 = 4,315 min
Respuesta
t = 4,315 min
8.Ecuaciones diferenciales
Respuesta: m = 13,51 kg
Ecuaciones diferenciales de primer orden: dy/dt = k·y tiene la solución y = y₀·ekt (crecimiento para k > 0, decrecimiento para k < 0); un periodo de semidesintegración T da k = ln 2/T. La ley de enfriamiento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), da T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Una ecuación lineal y′ + p(x)·y = q(x) se resuelve con el factor integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, así que μy = ∫μq dx + C.
Plantea la ecuación
dm/dt = 10·0,05 − (10/400)·m = 0,5 − 0,025·m
Resuelve
El factor integrante es ert/V; la solución tiende al equilibrio c·V.