Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una renta paga €2 000 al final de cada año durante 20 años. El tipo de interés es del 8 % anual. Halla el valor actual PV de la renta.
Una hipoteca de €150 000 se devuelve con cuotas mensuales iguales durante 25 años al 3 % anual con capitalización mensual. ¿Cuánto se debe todavía justo después de la cuota del final del año 15? Halla el capital pendiente B.
Un proyecto cuesta €100 000 hoy. Genera €9 000 al final del primer año, y después el flujo de caja crece un 1 % anual para siempre. El coste de capital es del 8 %. Halla el valor actual neto NPV.
Un proyecto cuesta €50 000 y devuelve €34 500, €26 000 al final de los años 1 a 2. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 3% en dos pagos semestrales y vence dentro de 9 años. La rentabilidad al vencimiento es del 7% anual. Calcula el precio P del bono.
Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 7% vence dentro de 7 años y cotiza a €950. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.
Una empresa tiene fondos propios por valor de €6 000 000 y deuda por valor de €4 000 000. Su coste de los fondos propios es del 12%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 5% y el tipo impositivo es del 28%. Calcula el WACC.
Las acciones de una empresa tienen una beta de 0,9 con su ratio deuda/fondos propios actual de 0,5. Planea elevar su ratio deuda/fondos propios a 0,6. El tipo impositivo es del 20%, el tipo libre de riesgo del 1% y la prima de riesgo de mercado del 7%. Halla el coste de los fondos propios re tras el cambio.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 33, 51, 29, 49, 44, 28, 42.
Una magnitud sigue una distribución normal con media 60 y desviación típica 15. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 78,75?
Se lanza un dado equilibrado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad P de sacar al menos un seis?
X tiene la distribución mostrada, y Y = 2X + 1. Halla la desviación típica σY de Y.
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 85 y 127 puntos? Da P como número decimal.
Para las duraciones de las baterías, la distribución es normal, con media 500 h y desviación típica 40 h. Arrastra el punto de corte para que el 95 % inferior sombreado quede a su izquierda. Halla el punto de corte x.
Se compara la duración de la batería de dos modelos de móvil. Modelo 1: 40 móviles, media 75,5 h, desviación típica conocida 11 h. Modelo 2: 100 móviles, media 73,5 h, desviación típica conocida 16 h. Halla el límite superior del intervalo de confianza del 95 % para μ₁ − μ₂.
Los diámetros de 15 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 3 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 14, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 5,629 y el 2,5 % queda por encima de 26,119.
Una muestra de 25 estudiantes tiene una nota media de 494,8 y una desviación típica muestral de 10. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 500.
En un ensayo se recuperan 80 de 200 pacientes con el tratamiento A y 90 de 200 pacientes con el tratamiento B. Usando la proporción combinada, halla el estadístico de contraste z para H₀: p₁ = p₂.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = horas de estudio e y = nota del examen. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Se hace una nueva observación (4, 61). Halla su residuo e = y − ŷ.
Respuesta: PV = 19636 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: B = 73665 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Lo que todavía se debe tiene que quedar exactamente pagado con las cuotas restantes.
Respuesta: NPV = 28571 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es positivo, así que el proyecto rinde más que la rentabilidad exigida.
Respuesta: IRR = 14,44 %
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.
La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.
Respuesta: P = 736,2 €
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
La rentabilidad supera el tipo de cupón, así que el bono se vende con descuento (bajo la par).
Respuesta: YTM = 7,959 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: WACC = 8,64 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: re = 7,66 %
Beta apalancada (Hamada): la deuda hace más arriesgados los fondos propios. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), donde βU es la beta del negocio sin deuda. Para pasar una beta a otra estructura de capital, desapaláncala primero y luego vuelve a apalancarla con la nueva D/E.
Respuesta: s = 9,431
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,1056
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,6651
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: σY = 4,247
Variables aleatorias discretas: una distribución de probabilidad enumera cada valor x que puede tomar una variable con su probabilidad p(x); las probabilidades están entre 0 y 1 y suman 1. El valor esperado (media) es E(X) = Σx·p(x), el promedio a largo plazo. La varianza es Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², y la desviación típica es σ = √Var(X). Para un cambio lineal Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) y σY = |a|·σX; sumar una constante no cambia la dispersión.
La media sí se desplaza: E(Y) = 2·3,3 + 1 = 7,6.
Respuesta: P = 0,8054
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: x = 566 h
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Respuesta: límite superior = 6,632 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
El intervalo contiene el 0, así que los datos no muestran una diferencia significativa.
Respuesta: σ = 4,731 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Intervalo del 95 % para σ: [2,196, 4,731] µm.
Respuesta: t = −2,6
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| > 2,064, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: z = −1,011
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| < 1.96, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: r² = 0,9891
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Aproximadamente el 98,91 % de la variación de y queda explicada por la recta.
Respuesta: e = −2,6
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
El punto está por debajo de la recta.
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