Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una tarjeta de crédito cobra un tipo de interés nominal del 24 % anual con capitalización trimestral. Halla el tipo efectivo anual (TAE) EAR en porcentaje.
Ingresas €3 000 al principio de cada año durante 18 años; el primer ingreso es hoy. La cuenta paga un 4 % anual. ¿Cuánto hay en la cuenta al final del año 18? Calcula FV.
Una máquina cuesta €20 000 hoy, dura 4 años y su funcionamiento cuesta €4 000 al año (pagados al final de cada año). El coste de capital es del 8 %. Halla su coste anual equivalente EAC.
Un proyecto cuesta €40 000 y devuelve €20 500, €25 000 al final de los años 1 a 2. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 paga un cupón anual del 5% en dos pagos semestrales y vence dentro de 10 años. La rentabilidad al vencimiento es del 9% anual. Calcula el precio P del bono.
Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 5% vence dentro de 7 años y cotiza a €870. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.
Una empresa tiene fondos propios por valor de €2 000 000 y deuda por valor de €6 000 000. Su coste de los fondos propios es del 14%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 6% y el tipo impositivo es del 25,8%. Calcula el WACC.
Una empresa tiene 2 500 000 acciones a €59,00 cada una y 5 000 bonos que cotizan a €960 cada uno. El coste de la deuda antes de impuestos es del 7% y el tipo impositivo es del 21%. La beta de la acción es 1,5, el tipo libre de riesgo es del 3,5% y la rentabilidad del mercado es del 10%. Calcula el WACC.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 37, 52, 36, 51, 43, 32.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 500 y desviación típica 100. Calcula la puntuación z z de una nota de 560.
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 5 personas entre un grupo de 9? El orden no importa.
Un examen tiene 8 preguntas de opción múltiple. Una estudiante que contesta al azar acierta cada una con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de acertar exactamente 3?
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,7373. Halla z con dos decimales.
El tiempo por vuelta X del corredor A y el tiempo por vuelta Y del corredor B son independientes y normales: X tiene media 52 s y desviación típica 4 s, Y tiene media 48 s y desviación típica 3 s. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
Una muestra de 30 elementos tiene media 85 y desviación típica s = 8. La población es aproximadamente normal. Calcula el margen de error E de un intervalo de confianza del 90 % para la media.
Un estudio piloto indica que aproximadamente 0,7 de los productos son defectuosos. ¿Cuántos productos n hay que inspeccionar para que un intervalo de confianza del 95 % para la proporción tenga un margen de error de como máximo 0,05?
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 47,2 y una desviación típica muestral de 20. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 50.
Un contraste z unilateral con α = 0,05 debe detectar un desplazamiento de la media de 3 unidades con una potencia del 90 %. La desviación típica es 10. Halla el tamaño muestral mínimo n.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 20?
Respuesta: EAR = 26,25 %
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
La TAE siempre es mayor que el tipo nominal cuando los intereses se capitalizan más de una vez al año.
Respuesta: FV = 80014 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Cada ingreso está invertido un año más.
Respuesta: EAC = 10038 €
Coste anual equivalente: reparte el valor actual de todos los costes a lo largo de la vida útil como un importe anual igual (una renta): CAE = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permite comparar máquinas con vidas útiles distintas.
Respuesta: IRR = 8,731 %
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.
La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.
Respuesta: P = 739,8 €
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
La rentabilidad supera el tipo de cupón, así que el bono se vende con descuento (bajo la par).
Respuesta: YTM = 7,45 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: WACC = 6,839 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: WACC = 13,01 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: s = 8,28
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = 0,6
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: N = 126
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,1239
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: z = 1,12
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,8686 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: P = 0,7881
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: E = 2,482
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
Respuesta: n = 323
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Respuesta: t = −1,4
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| < 1.984, así que no se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: n = 96
Tamaño muestral para un contraste: para detectar un desplazamiento real δ con potencia 1 − β en un contraste z unilateral de nivel α, el error típico debe cumplir δ = (z_α + z_β)·σ/√n, así que n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², redondeado hacia arriba.
Respuesta: r² = 0,9841
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Aproximadamente el 98,41 % de la variación de y queda explicada por la recta.
Respuesta: x = 1,556
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
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