Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Se espera que un inmueble genere un alquiler neto de €5 000 el año que viene. Se espera que el alquiler crezca un 1 % anual para siempre. La rentabilidad exigida es del 6 % anual. Halla el valor PV del inmueble hoy.
Ahorras €300 al final de cada mes durante 13 años. La cuenta paga un 2,4 % anual con capitalización mensual. ¿Cuánto has ahorrado al final? Calcula FV.
Una inversión de €30 000 genera estos flujos al final de los años 1 a 3: €11 000, €10 000, €12 000. El coste de capital es del 12 %. Calcula el valor actual neto NPV.
Un proyecto cuesta €20 000 y devuelve €11 500, €12 000, €8 000 al final de los años 1 a 3. Calcula su tasa interna de rentabilidad IRR en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 vence dentro de 13 años y paga cupones anuales. Se vende a €1 464 cuando la rentabilidad al vencimiento es del 3,5%. Halla el tipo de cupón c en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 8% vence dentro de 9 años y cotiza a €910. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.
Una empresa se financia con acciones ordinarias por valor de €10 000 000, acciones preferentes por valor de €1 000 000 y deuda por valor de €4 000 000. El coste de los fondos propios es del 11%, el de las acciones preferentes del 6,5% y el coste de la deuda antes de impuestos del 5%. El tipo impositivo es del 28%. Halla el WACC.
Una empresa tiene 4 000 000 acciones a €31,00 cada una y 40 000 bonos que cotizan a €980 cada uno. El coste de la deuda antes de impuestos es del 4% y el tipo impositivo es del 28%. La beta de la acción es 0,9, el tipo libre de riesgo es del 4% y la rentabilidad del mercado es del 10%. Calcula el WACC.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 40, 53, 36, 40, 29.
Una magnitud sigue una distribución normal con media 50 y desviación típica 20. ¿Qué proporción P de valores está por encima de 10?
Una bolsa tiene 6 bolas rojas y 4 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
Se prueban 10 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,6, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
Arrastra z para que el área sombreada entre −z y z bajo la curva normal estándar sea 0,6528. Halla z con dos decimales.
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
Un intervalo de confianza del 95 % para una media, basado en 36 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 9,8. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 99 % con los mismos datos?
Se prueban dos fertilizantes. Grupo de parcelas 1: 10 parcelas, rendimiento medio 80,5 kg, desviación típica 4,5 kg. Grupo de parcelas 2: 6 parcelas, media 82 kg, desviación típica 9 kg. Supón varianzas iguales (t con varianza combinada, gl = n₁ + n₂ − 2). Halla el límite superior del intervalo de confianza del 90 % para μ₁ − μ₂.
Una muestra de 100 estudiantes tiene una nota media de 117,4 y una desviación típica muestral de 12. Calcula el estadístico de contraste t para H₀: μ = 120.
Una muestra de 81 medidas tiene media 74. La desviación típica poblacional es 10. Calcula el límite inferior L del intervalo de confianza del 90 % para la media.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = carga en kN e y = alargamiento en mm. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
La tabla da 5 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. ¿Para qué valor x predice la recta ŷ = 16?
Respuesta: PV = 100000 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: FV = 54859 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Tú pusiste €46 800; el resto son intereses.
Respuesta: NPV = −3665 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.
Respuesta: IRR = 28,45 %
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN baja al subir el tipo, así que la TIR está entre un tipo con VAN positivo y otro con VAN negativo.
La interpolación lineal da una primera estimación; repetirla (o la función TIR de una calculadora) da el tipo exacto.
Respuesta: c = 8,004 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: YTM = 9,534 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: WACC = 8,727 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: WACC = 7,834 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: s = 8,735
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,9772
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,3333
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,001678
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: z = 0,94
De un área de vuelta a z: Φ(z) es el área a la izquierda de z. Para un área A en la cola izquierda, busca en la tabla la z con Φ(z) = A. Un área A en la cola derecha significa Φ(z) = 1 − A. Un área central A entre −z y z deja (1 − A)/2 en cada cola, así que Φ(z) = (1 + A)/2. Para un valor x, usa x = μ + zσ.
Busca 0,8264 dentro de la tabla y lee z.
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: E₂ = 12,88
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Respuesta: límite superior = 4,39 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Respuesta: t = −2,167
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
|t| > 1,984, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: L = 72,17
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Respuesta: r² = 0,9802
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Aproximadamente el 98,02 % de la variación de y queda explicada por la recta.
Respuesta: x = 3,625
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
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