Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una renta paga €2 000 al final de cada año durante 20 años. El tipo de interés es del 6 % anual. Halla el valor actual PV de la renta.
Un préstamo de €200 000 se devuelve en cuotas mensuales iguales durante 20 años. El tipo de interés es del 2,4 % anual con capitalización mensual. Calcula la cuota mensual A.
Una máquina cuesta €50 000 hoy. Genera €14 500 al final de cada año durante 4 años y después puede venderse por €12 500. El coste de capital es del 6 %. Halla el valor actual neto NPV.
Un proyecto cuesta €150 000 hoy. Su flujo de caja es de €34 000 al final del año 1 y crece un 5 % anual hasta el último flujo, al final del año 4. El coste de capital es del 8 %. Halla el valor actual neto NPV.
Compras un bono al que le quedan 4 años hasta el vencimiento (valor nominal €1 000, cupón anual 7%) cuando su rentabilidad al vencimiento es del 3%. Un año después, justo tras cobrar el primer cupón, lo vendes cuando la rentabilidad al vencimiento es del 4%. Halla tu rentabilidad del periodo de tenencia HPR en porcentaje.
Un bono cotiza a €925 con una rentabilidad al vencimiento del 5% (capitalización anual) y una duración de Macaulay de 7,7 años. Usa la duración modificada para estimar el nuevo precio P si la rentabilidad sube 75 puntos básicos.
Una empresa tiene fondos propios por valor de €2 000 000 y deuda por valor de €2 000 000. Su coste de los fondos propios es del 8%, su coste de la deuda antes de impuestos es del 4,5% y el tipo impositivo es del 25%. Calcula el WACC.
El negocio de una empresa tiene una beta desapalancada (de los activos) de 1,1. Planea un ratio deuda/fondos propios de 0,5. El tipo impositivo es del 25,8%, el tipo libre de riesgo del 2% y la prima de riesgo de mercado del 7%. Halla el coste de los fondos propios re con la nueva estructura de capital.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 51, 34, 60, 36, 37, 43.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 70 y desviación típica 5. Calcula la puntuación z z de una nota de 62,5.
¿De cuántas formas N se puede elegir un comité de 3 personas entre un grupo de 12? El orden no importa.
Se prueban 12 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,3, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
X es normal con media 250 g y desviación típica 4 g; Y es independiente y normal con media 500 g y desviación típica 9 g. Halla la probabilidad P de que X + Y sea mayor que 757,9 g. Redondea z a dos decimales.
La masa X de un producto de la línea 1 e Y de la línea 2 son independientes y normales: X tiene media 500 g y desviación típica 8 g, Y tiene media 490 g y desviación típica 6 g. Halla la probabilidad P de que X sea mayor que Y. Redondea z a dos decimales.
Un intervalo de confianza del 99 % para una media, basado en 25 observaciones y una σ conocida, tiene un margen de error de 8,1. ¿Cuál es el margen de error E₂ de un intervalo del 90 % con los mismos datos?
La desviación típica poblacional es 13. ¿Qué tamaño muestral n necesitas para que un intervalo de confianza del 90 % para la media tenga un margen de error de como máximo 0,5?
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 30 piezas tiene una longitud media de 133,5 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 14 mm. Línea 2: una muestra de 40 piezas tiene una media de 139,7 mm, con desviación típica conocida de 11 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
¿Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza del 90 % para una media tenga un margen de error de como mucho 2,5? La desviación típica es 15. Calcula el menor tamaño muestral n.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = temperatura en °C e y = helados vendidos. Halla el coeficiente de determinación r² de la recta de mínimos cuadrados.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = antigüedad del coche en años e y = precio en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 1,5.
Respuesta: PV = 22940 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: A = 1050 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
El valor actual de N pagos iguales A es A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Iguálalo al préstamo y despeja A.
Respuesta: NPV = 10145 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
Respuesta: NPV = −29224 €
Valor actual neto: descuenta cada flujo de caja hasta hoy con la rentabilidad exigida r y súmalos: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Un proyecto con NPV > 0 rinde más que r y crea valor. La tasa interna de rentabilidad (TIR) es el tipo para el que NPV = 0.
El VAN es negativo, así que el proyecto rinde menos que la rentabilidad exigida.
Respuesta: HPR = 0,3977 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: P = 874,1 €
Duración: la duración de Macaulay es el tiempo medio ponderado en el que un bono paga sus flujos de caja, usando como pesos los valores actuales de los flujos: D = Σ t·PVₜ/P. La duración modificada D/(1 + y) estima la variación porcentual del precio ante un pequeño cambio de la rentabilidad: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
La duración es una estimación lineal; para cambios grandes de rentabilidad la convexidad hace que el precio real sea algo mayor.
Respuesta: WACC = 5,688 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: re = 12,56 %
Beta apalancada (Hamada): la deuda hace más arriesgados los fondos propios. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), donde βU es la beta del negocio sin deuda. Para pasar una beta a otra estructura de capital, desapaláncala primero y luego vuelve a apalancarla con la nueva D/E.
Respuesta: s = 10,17
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = −1,5
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: N = 220
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,08503
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,2119
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: P = 0,8413
Sumas y diferencias de variables normales: si X e Y son independientes y normales, X + Y y X − Y también son normales. Las medias se suman o se restan: E(X ± Y) = μX ± μY. Las varianzas siempre se suman, también en una diferencia: Var(X ± Y) = σX² + σY², así que σ = √(σX² + σY²). Las desviaciones típicas nunca se suman directamente. El total de n elementos independientes con la misma distribución tiene media n·μ y desviación típica σ·√n. Después estandariza como de costumbre: z = (x − media)/σ y lee Φ(z).
Respuesta: E₂ = 5,173
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Respuesta: n = 1830
Intervalo de confianza para la media: x̄ ± margen de error. Con σ poblacional conocida, el margen es z·σ/√n; si solo se tiene la desviación típica muestral s, usa t con n − 1 grados de libertad: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Para conseguir un margen E o menor, necesitas n ≥ (z·σ/E)², redondeado hacia arriba.
El tamaño muestral es un número entero, y redondear hacia abajo haría el margen demasiado grande.
Respuesta: z = −2,005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: n = 98
Contraste de una media: el estadístico de contraste mide a cuántos errores típicos está la media muestral del valor afirmado en H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) si σ es conocida, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) si se estima con la muestra. Un intervalo de confianza es x̄ ± (valor crítico)·(error típico).
Respuesta: r² = 0,9683
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Aproximadamente el 96,83 % de la variación de y queda explicada por la recta.
Respuesta: ŷ = 20,95
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
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