Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 20 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
Una renta paga €1 000 al final de cada año durante 4 años. El tipo de interés es del 5 % anual. Halla el valor actual PV de la renta.
Una hipoteca de €200 000 se devuelve con cuotas mensuales iguales durante 20 años al 4,8 % anual con capitalización mensual. ¿Cuánto se debe todavía justo después de la cuota del final del año 15? Halla el capital pendiente B.
Una máquina cuesta €20 000 hoy, dura 4 años y su funcionamiento cuesta €1 500 al año (pagados al final de cada año). El coste de capital es del 8 %. Halla su coste anual equivalente EAC.
Un proyecto cuesta €10 000 y genera €4 500, €5 500, €3 500 al final de los años 1 a 3. Los flujos de caja pueden reinvertirse al coste de capital del 12 %. Halla la tasa interna de rentabilidad modificada MIRR en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 vence dentro de 6 años y paga cupones anuales. Se vende a €1 303 cuando la rentabilidad al vencimiento es del 2,5%. Halla el tipo de cupón c en porcentaje.
Un bono con un valor nominal de €1 000 y un cupón anual del 5% vence dentro de 10 años y cotiza a €860. Calcula su rentabilidad al vencimiento YTM en porcentaje.
Una empresa se financia con acciones ordinarias por valor de €4 000 000, acciones preferentes por valor de €500 000 y deuda por valor de €2 000 000. El coste de los fondos propios es del 11%, el de las acciones preferentes del 6,5% y el coste de la deuda antes de impuestos del 4%. El tipo impositivo es del 30%. Halla el WACC.
Una empresa tiene 2 000 000 acciones a €24,00 cada una y 20 000 bonos que cotizan a €1 020 cada uno. El coste de la deuda antes de impuestos es del 6% y el tipo impositivo es del 20%. La beta de la acción es 1,5, el tipo libre de riesgo es del 2% y la rentabilidad del mercado es del 8%. Calcula el WACC.
Calcula la desviación típica muestral s de los datos: 51, 50, 29, 18, 47, 28.
Las notas de un examen siguen una distribución normal con media 100 y desviación típica 20. Calcula la puntuación z z de una nota de 130.
Una bolsa tiene 5 bolas rojas y 6 azules. Sacas dos bolas sin devolver la primera. ¿Cuál es la probabilidad P de que las dos sean rojas?
Se prueban 12 componentes y cada uno falla con probabilidad 0,5, de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad P de que falle como mucho uno?
Supón que las puntuaciones de CI siguen una distribución normal con media 100 puntos y desviación típica 15 puntos. ¿Qué fracción está entre 85,75 y 130 puntos? Da P como número decimal.
Supón que las estaturas de los hombres adultos siguen una distribución normal con media 178 cm y desviación típica 7 cm. Halla el valor x por debajo del cual queda el 90 % de los datos (el percentil 90).
Se mide la tensión arterial de 20 pacientes antes y después de un tratamiento. Las diferencias d = antes − después (mmHg) tienen media 5,8 y desviación típica 2,2. Halla el límite inferior del intervalo de confianza del 90 % para la diferencia media.
Los diámetros de 15 ejes mecanizados tienen una desviación típica muestral de 11,2 µm. Suponiendo que los diámetros siguen una distribución normal, halla el límite superior σ del intervalo de confianza del 95 % para la desviación típica poblacional. Con gl = 14, el 2,5 % de la distribución χ² queda por debajo de 5,629 y el 2,5 % queda por encima de 26,119.
Dos líneas de producción fabrican la misma pieza. Línea 1: una muestra de 80 piezas tiene una longitud media de 65 mm, y la desviación típica conocida de la línea es 5 mm. Línea 2: una muestra de 40 piezas tiene una media de 58,6 mm, con desviación típica conocida de 14 mm. Halla el estadístico de contraste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando la diferencia como x̄₁ − x̄₂ (línea 1 menos línea 2).
Se hace un contraste z unilateral de H₀: μ = 80 frente a H₁: μ > 80 con α = 0,01 y una muestra de 100; se sabe que la desviación típica es 5. En realidad la media es 81. Halla la probabilidad de un error de tipo II β en porcentaje.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Se dan sus sumas. Halla el coeficiente de correlación de Pearson r a partir de estas sumas.
La tabla da 6 observaciones emparejadas de x = gasto en publicidad en miles de € e y = ventas en miles de €. Usa la recta de mínimos cuadrados ŷ = a + b·x. Predice ŷ para x = 6.
Respuesta: PV = 3546 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Respuesta: B = 69113 €
Valor temporal del dinero: el dinero de hoy vale más que la misma cantidad en el futuro, porque puede generar intereses. Con un tipo de interés i por periodo, una cantidad crece a FV = PV·(1 + i)n. Una serie de pagos iguales (una renta) se valora sumando cada pago, de donde salen las fórmulas de rentas.
Lo que todavía se debe tiene que quedar exactamente pagado con las cuotas restantes.
Respuesta: EAC = 7538 €
Coste anual equivalente: reparte el valor actual de todos los costes a lo largo de la vida útil como un importe anual igual (una renta): CAE = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Permite comparar máquinas con vidas útiles distintas.
Respuesta: MIRR = 15,24 %
TIR modificada: capitaliza cada cobro hasta el final del proyecto al tipo de reinversión (normalmente el coste de capital) para obtener el valor final VF. La TIRM es el tipo que convierte la inversión inicial en VF: TIRM = (VF/C₀)^(1/n) − 1.
Respuesta: c = 8,001 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: YTM = 6,993 %
Precio de un bono: el precio de un bono es el valor actual de sus flujos de caja, descontados a la rentabilidad al vencimiento (YTM): los cupones forman una renta y el valor nominal se devuelve al vencimiento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Cuando la rentabilidad supera el tipo de cupón, el bono cotiza por debajo de su valor nominal, y al revés.
Respuesta: WACC = 8,131 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: WACC = 9,151 %
Coste del capital: el CAPM da la rentabilidad que exigen los accionistas: re = rf + β·(rm − rf). El coste medio ponderado del capital combina fondos propios y deuda según sus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), con V = E + D. Los intereses son deducibles fiscalmente; de ahí el factor (1 − T).
Respuesta: s = 13,93
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: z = 1,5
Estadística descriptiva: la media es la suma dividida entre n; la mediana es el valor central de los datos ordenados (la media de los dos centrales si n es par). La desviación típica muestral es s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Una puntuación z = (x − μ)/σ indica a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media.
Respuesta: P = 0,1818
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,003174
Probabilidad: con resultados equiprobables, P(A) = favorables/totales. Para sucesos independientes se multiplica: P(A y B) = P(A)·P(B). El complementario suele ayudar: P(al menos uno) = 1 − P(ninguno). Binomial: en n ensayos independientes con probabilidad de éxito p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Respuesta: P = 0,8062
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: x = 187 cm
Distribución normal: convierte un valor x en una puntuación z, z = (x − μ)/σ, que indica a cuántas desviaciones típicas está de la media. Una tabla z (o Φ(z)) da el área a la izquierda de z, que es P(X < x). El área a la derecha es 1 − Φ(z), y el área entre dos valores es la diferencia de sus dos áreas.
Respuesta: límite inferior = 4,949 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Respuesta: σ = 17,66 µm
Intervalo para una varianza: (n − 1)s²/σ² sigue una distribución χ² con n − 1 grados de libertad. El intervalo del 95 % para σ² va desde (n − 1)s² dividido entre el valor χ² superior (con el 2,5 % por encima) hasta (n − 1)s² dividido entre el valor χ² inferior (con el 2,5 % por debajo); el intervalo para σ es la raíz cuadrada de ambos límites. No es simétrico respecto a s.
Intervalo del 95 % para σ: [8,2, 17,66] µm.
Respuesta: z = 2,803
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1,96, así que se rechaza H₀ al nivel del 5 % (bilateral).
Respuesta: β = 62,78 %
Potencia de un contraste: potencia = 1 − β es la probabilidad de rechazar H₀ cuando es falsa. Halla el valor de corte x̄c a partir de μ₀ y z_α y después calcula la probabilidad de caer más allá de x̄c usando la media verdadera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Respuesta: r = 0,994
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
Respuesta: ŷ = 57,83
Regresión por mínimos cuadrados: con x̄ e ȳ las medias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² y Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la recta ŷ = a + b·x tiene pendiente b = Sxy/Sxx y ordenada en el origen a = ȳ − b·x̄, así que siempre pasa por (x̄, ȳ). El coeficiente de correlación de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) está entre −1 y 1; r² es la fracción de la variación de y explicada por la recta.
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