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1Fórmulas y métodos
Resistencias en serie y en paralelo
Resistencias en serie
Req = R1 + R2 + …
Resistencias en paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dos en paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Ley de Ohm
V = I·R
Potencia
P = V·I = I²R = V²/R
Método
Empieza por el extremo de la red más alejado de los terminales.
Combina las resistencias en serie sumándolas, y las resistencias en paralelo con 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Vuelve a dibujar el circuito después de cada paso.
Repite hasta que quede una sola resistencia entre los terminales.
Análisis nodal
Ley de corrientes de Kirchhoff
ΣIin = ΣIout
Corriente de rama
I = (Va − Vb)/R
Nodo de referencia
Vground = 0
Método
Elige un nudo de referencia (tierra) y nombra las tensiones de los demás nudos.
Aplica la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nudo desconocido: las corrientes que salen por cada rama igualan a las que entran.
Expresa cada corriente de rama como (Va − Vb)/R.
Resuelve el sistema de ecuaciones y luego halla la corriente que necesites.
Análisis de mallas
Ley de tensiones de Kirchhoff
ΣV = 0 en cada malla
Resistencia compartida
corriente = I1 − I2
Fuente de corriente en una malla
fija esa corriente de malla
Método
Dibuja una corriente en sentido horario en cada malla (ventana) del circuito.
Aplica la ley de tensiones de Kirchhoff en cada malla: la suma de las caídas de tensión es cero.
En una resistencia compartida por dos mallas, la corriente es la diferencia de las dos corrientes de malla.
Resuelve las ecuaciones; un resultado negativo significa que la corriente circula en sentido contrario.
Superposición
Superposición
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Fuente de tensión apagada
cortocircuito (0 V)
Fuente de corriente apagada
circuito abierto (0 A)
Divisor de tensión
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Divisor de corriente
I1 = I·R2/(R1 + R2)
Método
Cuenta las fuentes independientes. Resolverás un circuito más sencillo por cada fuente.
Deja una fuente y anula las demás: una fuente de tensión se convierte en un cortocircuito (un cable) y una fuente de corriente en un circuito abierto (un hueco).
Resuelve el circuito más sencillo para la tensión o corriente que necesitas, sin perder de vista su sentido.
Repite con cada fuente y luego suma las contribuciones con sus signos.
Thévenin y Norton
Tensión de Thévenin
Vth = Vopen circuit
Resistencia de Thévenin
Rth: todas las fuentes apagadas, vista desde a–b
Corriente de Norton
IN = Vth/Rth
Corriente en la carga
IL = Vth/(Rth + RL)
Máxima transferencia de potencia
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Método
Quita la carga y marca los dos terminales a y b.
Halla la tensión en circuito abierto entre a y b: es Vth.
Anula todas las fuentes independientes y halla la resistencia vista desde a–b: es Rth.
Vuelve a conectar la carga al circuito equivalente: Vth en serie con Rth.
Para el equivalente de Norton, convierte: IN = Vth/Rth, con RN = Rth en paralelo.
Circuitos con amplificador operacional
Amplificador inversor
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Amplificador no inversor
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Amplificador sumador
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Amplificador operacional ideal
V+ = V−, Iin = 0
Transitorios RC y RL
Constante de tiempo
τ = RC | τ = L/R
Respuesta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensador en continua
circuito abierto; vC no puede saltar
Bobina en continua
cortocircuito; iL no puede saltar
Régimen permanente
t ≈ 5τ
Método
Halla el valor inicial justo después de la conmutación: la tensión de un condensador y la corriente de una bobina no pueden variar bruscamente.
Halla el valor final mucho después de la conmutación: un condensador se comporta como un circuito abierto y una bobina como un cortocircuito.
Halla la constante de tiempo: τ = RC o τ = L/R, usando la resistencia que ve el condensador o la bobina.
Usa x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
2Problemas de práctica
1.Resistencias en serie y en paraleloMedia
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
V1 = 6 VR1 = 8 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 Ω
IR1 = A
2.Resistencias en serie y en paraleloDifícil
Halla la corriente IR1 que entrega la fuente, que pasa por R1.
La fuente de tensión Vₛ entre A y B tiene su borne + en B, así que impone VB − VA = Vₛ. Usa el análisis nodal con un supernodo para hallar la corriente Ix por la fuente de tensión, de A a B como indica la flecha.
La bobina no lleva corriente antes de que el interruptor se cierre en t = 0. Halla la tensión vL en la bobina en t = 1 ms.
Vs = 5 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
14.Transitorios RC y RLDifícil
Un temporizador empieza a cargar en t = 0 un condensador descargado a través de una resistencia desde una alimentación de 12 V. Debe dispararse cuando la tensión del condensador llegue a 7,58 V, exactamente 500 ms después del inicio. Con C = 2,2 µF, halla la resistencia R necesaria.
Vs = 12 VVth = 7,58 VT = 500 msC = 2,2 µF
R = kΩ
3Disoluciones
1.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 0,4884 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R3 + R4 = 10 + 5 = 15 Ω
R2 ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω
Req = R1 + 4,286 = 8 + 4,286 = 12,29 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 6/12,29 = 0,4884 A
Respuesta
IR1 = 0,4884 A
2.Resistencias en serie y en paralelo
Respuesta: IR1 = 1,302 A
Resistencias en serie y en paralelo: en serie, la misma corriente pasa por cada resistencia y R = R₁ + R₂ + …. En paralelo, cada resistencia tiene la misma tensión y 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Una red en escalera se reduce por parejas hasta que queda una sola resistencia equivalente.
Combina las resistencias desde el extremo más lejano
Empieza por el extremo más alejado de la fuente y avanza hacia ella. Las resistencias con la misma corriente están en serie; las que están entre los mismos dos nodos, en paralelo.
R5 + R6 = 12 + 3 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 1,765 Ω
R3 + 1,765 = 6,765 Ω
R2 ∥ 6,765 = 5,52 Ω
Req = R1 + 5,52 = 6 + 5,52 = 11,52 Ω
Corriente de la fuente
La fuente solo ve Req, así que la ley de Ohm da la corriente que entrega. Esa corriente pasa por R₁.
IR1 = V1/Req = 15/11,52 = 1,302 A
Respuesta
IR1 = 1,302 A
3.Análisis nodal
Respuesta: PIs = 32 W
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
LCK en el nodo A
Las corrientes que salen de A por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/10 + (VA − 30)/15 + (VA − VB)/4 = 0
0,4167·VA − 0,25·VB = 2
LCK en el nodo B
Las corrientes que salen de B por las resistencias igualan la corriente que las fuentes inyectan en B.
VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/10 + (VB − VA)/4 = 2
−0,25·VA + 0,35·VB = 2
Resuelve
Δ = (0,4167)(0,35) − (−0,25)(−0,25) = 0,08333
VA = Δ1/Δ = 1,2/0,08333 = 14,4 V
VB = Δ2/Δ = 1,333/0,08333 = 16 V
Potencia entregada por la fuente de corriente
La fuente impulsa Iₛ hacia arriba al nodo B, desde tierra (0 V) hasta VB. Una fuente cuya corriente sale por su borne + entrega P = V·I.
PIs = VB·Is = 16·2 = 32 W
Respuesta
PIs = 32 W
4.Análisis nodal
Respuesta: Ix = 1,816 A
Análisis nodal: elige un nodo de referencia, nombra las tensiones de nodo desconocidas, escribe la ley de corrientes de Kirchhoff en cada nodo desconocido usando la ley de Ohm (I = ΔV/R) y resuelve las ecuaciones resultantes.
Forma un supernodo
La fuente de tensión entre A y B conduce una corriente desconocida, así que no se puede escribir la LCK en A ni en B por separado. Encierra A, B y la fuente en un supernodo: la corriente que entra es igual a la que sale.
VB = VA + 9
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is
Resuelve
(VA − 18)/8 + VA/15 + (VA + 9)/4 = 1
VA·(1/8 + 1/15 + 1/4) = 1 + 18/8 − 9/4 = 1
VA = 1/0,4417 = 2,264 V
VB = 11,26 V
Corriente por la fuente de tensión
LCK solo en el nodo A: la corriente que llega por R₁ sale por R₂ y por la fuente de tensión.
IR1 = (18 − 2,264)/8 = 1,967 A
Ix = IR1 − VA/R2 = 1,967 − 2,264/15 = 1,816 A
Respuesta
Ix = 1,816 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en contra de la flecha.
5.Análisis de mallas
Respuesta: I2 = −2,182 A
Análisis de mallas: asigna a cada ventana de un circuito plano su propia corriente de lazo, escribe la ley de tensiones de Kirchhoff en cada lazo (suma de caídas = suma de subidas) y resuelve. Las corrientes de rama son la corriente de malla o la diferencia de dos corrientes de malla en una rama compartida.
Asigna las corrientes de malla
Dibuja una corriente en sentido horario en cada ventana: I1, I2. Una resistencia compartida por dos mallas lleva la diferencia de sus corrientes.
LTK en la malla 1
Recorriendo en sentido horario, las caídas en las resistencias igualan a las subidas de tensión de las fuentes (de − a + en el sentido del recorrido).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 5(I1 − I2) = 6
15·I1 − 5·I2 = 6
LTK en la malla 2
Recorriendo en sentido horario, las caídas en las resistencias igualan a las subidas de tensión de las fuentes (de − a + en el sentido del recorrido).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
4·I2 + 5(I2 − I1) = (−18)
−5·I1 + 9·I2 = −18
Resuelve
Δ = (15)(9) − (−5)(−5) = 110
I1 = Δ1/Δ = −36/110 = −0,3273 A
I2 = Δ2/Δ = −240/110 = −2,182 A
Respuesta
I2 = −2,182 A
Una corriente de malla negativa circula en sentido antihorario.
6.Análisis de mallas
Respuesta: I3 = −3,775 A
Análisis de mallas: asigna a cada ventana de un circuito plano su propia corriente de lazo, escribe la ley de tensiones de Kirchhoff en cada lazo (suma de caídas = suma de subidas) y resuelve. Las corrientes de rama son la corriente de malla o la diferencia de dos corrientes de malla en una rama compartida.
Asigna las corrientes de malla
Dibuja una corriente en sentido horario en cada ventana: I1, I2, I3. Una resistencia compartida por dos mallas lleva la diferencia de sus corrientes.
LTK en la malla 1
Recorriendo en sentido horario, las caídas en las resistencias igualan a las subidas de tensión de las fuentes (de − a + en el sentido del recorrido).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
2·I1 + 15(I1 − I2) = 5
17·I1 − 15·I2 = 5
LTK en la malla 2
Recorriendo en sentido horario, las caídas en las resistencias igualan a las subidas de tensión de las fuentes (de − a + en el sentido del recorrido).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
5·I2 + 15(I2 − I1) + 4(I2 − I3) = 0
−15·I1 + 24·I2 − 4·I3 = 0
LTK en la malla 3
Recorriendo en sentido horario, las caídas en las resistencias igualan a las subidas de tensión de las fuentes (de − a + en el sentido del recorrido).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
5·I3 + 4(I3 − I2) = (−30)
−4·I2 + 9·I3 = −30
Resuelve
Δ = determinante de la matriz de coeficientes = 1375
I1 = Δ1/Δ = −800/1375 = −0,5818 A
I2 = Δ2/Δ = −1365/1375 = −0,9927 A
I3 = Δ3/Δ = −5190/1375 = −3,775 A
Respuesta
I3 = −3,775 A
Una corriente de malla negativa circula en sentido antihorario.
7.Superposición
Respuesta: IR2 = 0,9412 A
Superposición: en un circuito lineal, cualquier tensión o corriente es la suma de las respuestas a cada fuente independiente actuando sola. Para apagar una fuente, sustituye una fuente de tensión ideal por un cortocircuito y una fuente de corriente ideal por un circuito abierto. Las resistencias se quedan donde están.
Caso 1 · V1 actuando sola
Iₛ pasa a ser un circuito abierto, así que R₃ y R₄ forman una rama en serie de A a tierra, en paralelo con R₂.
R3+R4 = 20+3 = 23 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω
VA = 9·2,654/(15+2,654) = 1,353 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,353·3/23 = 0,1765 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (1,353 − 0)/3 = 0,451 A
Caso 2 · Is actuando sola
V₁ pasa a ser un cortocircuito, así que R₁ queda en paralelo con R₂. Iₛ se reparte en B entre R₄ y el camino por R₃.
R1 ∥ R2 = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 3 ∥ 22,5 = 2,647 Ω
VB = Is·Req = 5·2,647 = 13,24 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 13,24·2,5/22,5 = 1,471 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (1,471 − 0)/3 = 0,4902 A
Suma las contribuciones
IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 0,451 + 0,4902 = 0,9412 A
Un resultado negativo significa que la corriente real circula en sentido contrario a la flecha.
8.Superposición
Respuesta: VR2 = −1,268 V
Superposición: en un circuito lineal, cualquier tensión o corriente es la suma de las respuestas a cada fuente independiente actuando sola. Para apagar una fuente, sustituye una fuente de tensión ideal por un cortocircuito y una fuente de corriente ideal por un circuito abierto. Las resistencias se quedan donde están.
Caso 1 · V1 actuando sola
V₂ pasa a ser un cortocircuito e Iₛ un circuito abierto. Vista desde A, R₃ está en paralelo con la serie R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 15 ∥ 17 = 7,969 Ω
VA = 36·7,969/(12+7,969) = 14,37 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 14,37·2/17 = 1,69 V
VR2′ = VB − VA = 1,69 − 14,37 = −12,68 V
Caso 2 · Is actuando sola
Ambas fuentes de tensión pasan a ser cortocircuitos. Iₛ se reparte en B entre R₄ (ahora a tierra) y R₂ en serie con R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 6,667 Ω, así que el camino de la izquierda es R2+6,667 = 21,67 Ω
Req = R4 ∥ 21,67 = 1,831 Ω
VB = Is·Req = 6·1,831 = 10,99 V
VA = VB·6,667/21,67 = 3,38 V
VR2″ = VB − VA = 10,99 − 3,38 = 7,606 V
Caso 3 · V2 actuando sola
V₁ pasa a ser un cortocircuito e Iₛ un circuito abierto. R₁ ∥ R₃ cuelga de A, en serie con R₂ hasta B.
R1 ∥ R3 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 6·21,67/23,67 = 5,493 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 5,493·6,667/21,67 = 1,69 V
VR2‴ = VB − VA = 5,493 − 1,69 = 3,803 V
Suma las contribuciones
VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = (−12,68) + 7,606 + 3,803 = −1,268 V
Un resultado negativo significa que la polaridad real es la opuesta a la indicada.
9.Thévenin y Norton
Respuesta: Rth = 16 Ω
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 20·20/(20+20) = 10 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 10 + 6 = 16 Ω
10.Thévenin y Norton
Respuesta: IN = 11,63 A
Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión Vth en serie con una resistencia Rth. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente IN = Vth/Rth en paralelo con Rth.
Halla Rth con todas las fuentes apagadas
Sustituye las fuentes de tensión por cortocircuitos y las de corriente por circuitos abiertos, y mira el circuito desde a–b.
R1 ∥ R2 = 2·15/(2+15) = 1,765 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,765 + 2 = 3,765 Ω
Halla Vth, la tensión en circuito abierto
Con a–b abiertos, el único camino para Iₛ es por R₃ hacia el nodo A. Halla V_A por superposición de V₁ e Iₛ y luego suma la caída en R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 21,18 + 6·1,765 = 31,76 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 31,76 + 6·2 = 43,76 V
Equivalente de Norton
Una fuente de Norton es el mismo circuito visto como una fuente de corriente en paralelo con R_th. Su corriente es la corriente de cortocircuito en a–b.
IN = Vth/Rth = 43,76/3,765 = 11,63 A
11.Circuitos con amplificador operacional
Respuesta: Vout = −3,741 V
Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.
Reglas del amplificador operacional ideal: con realimentación negativa, el amplificador ajusta su salida para que sus dos entradas estén a la misma tensión (V₋ = V₊), y no entra corriente por ninguna entrada. Aplicar la LCK en la entrada inversora con estos dos hechos da la salida.
Corrientes de entrada
V₋ = 0, así que cada resistencia de entrada tiene toda su tensión de entrada.
I1 = V1/R1 = −0,8/47 = −0,01702 mA
I2 = V2/R2 = 1,5/2 = 0,75 mA
If = I1 + I2 = 0,733 mA
Tensión de salida
Vout = −Rf·If = −4,7·0,733 = −3,445 V
Respuesta
Vout = −3,445 V
13.Transitorios RC y RL
Respuesta: vL = 0,1844 V
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.
Constante de tiempo y corriente final
Mucho después de cerrar el interruptor la bobina se comporta como un cortocircuito, así que la corriente final la fija solo R.
τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms
i(∞) = Vs/R = 5/33 = 0,1515 A
Tensión en la bobina
En t = 0 toda la tensión de alimentación aparece en la bobina; después cae a cero.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/0,303 = 0,1844 V
Respuesta
vL = 0,1844 V
14.Transitorios RC y RL
Respuesta: R = 227,6 kΩ
Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.