Análisis de circuitos II: corriente alterna: pack de repaso

Forma polar: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, con r = |z| y θ = arg z. Para volver a la forma rectangular: a = r cos θ, b = r sin θ. El argumento necesita el cuadrante: θ = atan(b/a) solo cuando a > 0; para a < 0 suma o resta 180°. En forma polar multiplicar es fácil: se multiplican los módulos y se suman los argumentos; para dividir se dividen los módulos y se restan los argumentos.

De Moivre y raíces: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. La ecuación zⁿ = R∠φ tiene exactamente n raíces, todas con módulo R^1/n, en los argumentos (φ + 360°·k)/n para k = 0, 1, …, n − 1: están repartidas uniformemente en una circunferencia, separadas 360°/n. Una ecuación cuadrática z² + pz + q = 0 con p² < 4q tiene las raíces complejas z = −p/2 ± j√(q − p²/4); un polinomio con coeficientes reales siempre tiene sus raíces complejas en pares conjugados a ± jb.

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Circuitos de alterna con fasores: resistencias, bobinas y condensadores tienen impedancias R, jωL y 1/(jωC), con ω = 2πf. En serie, las impedancias se suman como resistencias, pero como números complejos. La corriente y la tensión eficaces siguen la ley de Ohm con |Z|.

Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.

Potencia en alterna: la potencia aparente S = V·I (VA) se divide en potencia activa P = S·cos φ (W), que hace trabajo útil, y potencia reactiva Q = S·sin φ (var), que va y viene entre fuente y carga. El factor de potencia es cos φ. Un condensador en paralelo aporta potencia reactiva en el propio punto, así que la corriente de línea baja para la misma potencia activa.

Factor Q y ancho de banda: en un circuito resonante Q = 2π·(energía almacenada)/(energía perdida por ciclo). Para un RLC serie Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); para un RLC paralelo Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). El ancho de banda entre las frecuencias de media potencia f₁ y f₂ (donde la potencia es la mitad y la corriente o la tensión es 1/√2 de su valor máximo) es BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, que vale R/(2πL) en serie y 1/(2πRC) en paralelo. La frecuencia de resonancia es la media geométrica f₀ = √(f₁f₂), y f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Las pérdidas también hacen decaer la oscilación: en un RLC serie la amplitud cae como e^−Rt/(2L).

Factor Q y ancho de banda: en un circuito resonante Q = 2π·(energía almacenada)/(energía perdida por ciclo). Para un RLC serie Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); para un RLC paralelo Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). El ancho de banda entre las frecuencias de media potencia f₁ y f₂ (donde la potencia es la mitad y la corriente o la tensión es 1/√2 de su valor máximo) es BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, que vale R/(2πL) en serie y 1/(2πRC) en paralelo. La frecuencia de resonancia es la media geométrica f₀ = √(f₁f₂), y f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Las pérdidas también hacen decaer la oscilación: en un RLC serie la amplitud cae como e^−Rt/(2L).

Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, V_L = √3·V_ph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, I_L = √3·I_ph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ.

Sistemas trifásicos equilibrados: en una conexión en Y (estrella) la tensión de línea es √3 veces la tensión de fase, V_L = √3·V_ph, y la corriente de línea es igual a la corriente de fase. En una conexión en Δ (triángulo) la tensión de línea es igual a la tensión de fase y la corriente de línea es √3 veces la corriente de fase, I_L = √3·I_ph. La potencia total es tres veces la potencia de una fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Corrección del factor de potencia: los condensadores aportan potencia reactiva en el propio punto, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Cada uno de los tres condensadores aporta Q_C/3 = V²·ω·C, donde V es la tensión en ese condensador: V_L en una batería en triángulo, V_L/√3 en una batería en estrella.

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Transitorios de primer orden: en un circuito con un condensador o una bobina, cada tensión y corriente pasa de forma exponencial de su valor inicial a su valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, con τ = RC o τ = L/R. Tras unos 5τ el circuito se ha estabilizado.

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión V_th en serie con una resistencia R_th. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente I_N = V_th/R_th en paralelo con R_th.

Teorema de Thévenin: toda red lineal de dos terminales se comporta como una única fuente de tensión V_th en serie con una resistencia R_th. El teorema de Norton da la misma red como una fuente de corriente I_N = V_th/R_th en paralelo con R_th.

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.

Respuesta en frecuencia: sustituye s = jω en la función de transferencia. El módulo en decibelios es 20·log₁₀|H(jω)| y la fase es la suma de los ángulos de los factores del numerador menos los del denominador. Un filtro RC o RL de primer orden tiene su frecuencia de corte (−3 dB) en ω_c = 1/(RC) o R/L, y f_c = ω_c/(2π); un filtro paso bajo da |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) y φ = −atan(ω/ω_c). En el diagrama de Bode asintótico (de rectas) cada polo hace bajar el módulo 20 dB/década en su frecuencia de esquina, cada cero lo hace subir 20 dB/década, y un integrador 1/s da −20 dB/década en todas las frecuencias. Cruce de ganancia ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); margen de fase MF = 180° + ∠L(jω_c). Cruce de fase ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; margen de ganancia MG = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. El lazo cerrado es estable cuando ambos márgenes son positivos.