Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La programación dinámica es útil cuando un problema tiene:

  1. ASubproblemas superpuestos y subestructura óptima
  2. BNingún subproblema en absoluto, así que puede resolverse en un solo paso
  3. CUn único bucle
  4. DSolo entradas aleatorias
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de Strassen multiplica matrices usando 7 multiplicaciones recursivas de bloques de la mitad de tamaño en lugar de 8. ¿Cuál es su tiempo de ejecución?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
  2. BSe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
  3. CSe reconstruye todo el montículo desde cero
  4. DSe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1721316641598ABCDEFG

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 2; las aristas descartadas no cuentan.

k = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista BD
  3. 3arista CE
  4. 4arista DF
  5. 5arista EF
  6. 6arista GB
  7. 7arista GC
  8. 8arista GD
  9. 9arista GE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima

Por qué esta es la respuesta

Guardar los resultados de los subproblemas superpuestos (memoización o tabulación) evita trabajo repetido y convierte algoritmos exponenciales en polinómicos.

Respuesta

A · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81

Por qué esta es la respuesta

Con a = 7 y b = 2, nlog₂ 7 domina al trabajo de sumas O(n²), lo que da aproximadamente n2,81.

Respuesta

D · Θ(nlog₂ 7), aproximadamente n2,81
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

B · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

A · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vértices impares

A, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista GB

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. BD (2)
2. GB (4)
3. EF (6)
4. GE (8)
5. CE (13)
6. AB (17)

arista número 2

GB

Respuesta

arista GB

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