Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué mide el análisis amortizado?

  1. AEl coste de la única operación más cara de toda la secuencia
  2. BEl coste de un algoritmo con la mejor entrada
  3. CEl coste esperado con entradas aleatorias
  4. DEl coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Usando el teorema maestro, T(n) = 8T(n/2) + O(n²) tiene como solución:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n³)
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna pila
  2. BUna cola
  3. CSolo una tabla hash
  4. DUn montículo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad mantiene perfectamente equilibrado todo árbol B?

  1. ALas claves solo se almacenan en la raíz
  2. BTodas las hojas están a la misma profundidad
  3. CCada nodo almacena una clave
  4. DCada nodo tiene exactamente dos hijos
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
121319121213912ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso

Por qué esta es la respuesta

El análisis amortizado reparte el coste de las operaciones caras y poco frecuentes entre muchas baratas, lo que da una media garantizada para cualquier secuencia.

Respuesta

D · El coste medio por operación a lo largo de una secuencia de operaciones del peor caso
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Θ(n³)

Por qué esta es la respuesta

log₂ 8 = 3, y n² crece más despacio que n³, así que dominan las hojas: Θ(n³).

Respuesta

D · Θ(n³)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

A · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Todas las hojas están a la misma profundidad

Por qué esta es la respuesta

Los nodos se dividen hacia arriba cuando están llenos y el árbol solo gana altura cuando se divide la raíz, así que todas las hojas permanecen siempre en el mismo nivel.

Respuesta

B · Todas las hojas están a la misma profundidad
5.Teoría de grafos

Respuesta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices impares

0
Circuito euleriano

Respuesta

Circuito euleriano
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 25

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 12, C: 13
B (12): D: 13, G: 25
C (13): E: 22, G: 22
D (13): F: 25
E (22)
G (22)
F (25)

Camino más corto

A → B → D → F
d(F) = 25

Respuesta

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms