Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La cota inferior para la ordenación basada en comparaciones en el peor caso es:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para (j = i; j ≤ n; j = j + i) hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n √n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  2. BBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
  3. CQue las claves se almacenen en orden de inserción
  4. DQue ningún nodo tenga dos hijos
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué se usan los árboles B en bases de datos y sistemas de archivos?

  1. ASu alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
  2. BUsan menos memoria que cualquier arreglo, así que todo el índice cabe siempre en la memoria principal
  3. CNo necesitan rebalanceo
  4. DAlmacenan los datos sin ordenar
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 25 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 25
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de A a D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Ω(n log n)

Por qué esta es la respuesta

Cualquier ordenación por comparaciones necesita al menos log₂(n!) ≈ n log n comparaciones en el peor caso. El ordenamiento por conteo (counting sort) la supera porque no compara.

Respuesta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n log n)

Por qué esta es la respuesta

El total es n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, y el número armónico Hn es Θ(log n).

Respuesta

B · O(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

A · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco

Por qué esta es la respuesta

Los árboles B almacenan muchas claves por nodo, así que la altura es pequeña y se necesitan pocas lecturas de bloques por búsqueda; los árboles B+ además enlazan las hojas para recorridos por rangos.

Respuesta

A · Su alto factor de ramificación mantiene el árbol poco profundo, lo que reduce las lentas lecturas de disco
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 6

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 25 − 19 = 6

Respuesta

k = 6
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)AD = 0·0 + 1·1 + 1·0 + 0·0 + 0·1 = 1

Respuesta

N = 1

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