Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Un quicksort usa siempre el primer elemento como pivote. ¿Con qué entrada muestra su comportamiento de peor caso?

  1. AUn array con todos sus elementos distintos
  2. BUn array que ya está ordenado
  3. CUn array de longitud 2
  4. DUn array en orden aleatorio
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de la parada es indecidible
  2. BTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  3. CEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  4. DP no es igual a NP
3.Estructuras de datosMedia

En un montículo binario almacenado en un arreglo que empieza en el índice 0, ¿dónde está el padre del nodo del índice i?

  1. AEn el índice 2i + 1
  2. BEn el índice ⌊i / 2⌋ + 1
  3. CEn el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DEn el índice i − 1
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AImplementar una pila
  2. BResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
  3. COrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
  4. DAlmacenar las aristas de un grafo
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 20 vértices y 31 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 20|E| = 31
k =
6.Teoría de grafosDifícil
132152084514ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un array que ya está ordenado

Por qué esta es la respuesta

Con una entrada ordenada, el pivote es siempre el mínimo, así que un lado queda vacío y el otro tiene n − 1 elementos, lo que da O(n²).

Respuesta

B · Un array que ya está ordenado
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋

Por qué esta es la respuesta

Los hijos de i están en 2i + 1 y 2i + 2, así que el padre de i está en ⌊(i − 1) / 2⌋; con índices desde 1 es ⌊i / 2⌋.

Respuesta

C · En el índice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

B · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

20 − 1 = 19

Aristas que quitar

k = 31 − 19 = 12

Respuesta

k = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 35

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

AC (1): tomar
CE (2): tomar
BD (3): tomar
GC (4): tomar
GD (5): tomar
GB (8): descartar, cierra un ciclo
GE (14): descartar, cierra un ciclo
DE (15): descartar, cierra un ciclo
DF (20): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 20 = 35

Respuesta

W = 35

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