Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Por qué muchas rutinas de ordenación de las bibliotecas cambian al ordenamiento por inserción para subarrays muy pequeños?

  1. ALos algoritmos recursivos no pueden tratar arrays de menos de 10 elementos
  2. BEl ordenamiento por inserción usa menos memoria que cualquier otro algoritmo de ordenamiento con entradas grandes
  3. CEl ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
  4. DEl ordenamiento por inserción es O(n log n) en el peor caso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué se deduciría si alguien hallara un algoritmo de tiempo polinómico para un problema NP-completo?

  1. ASolo ese problema pasaría a P
  2. BTodos los algoritmos de tiempo exponencial pasarían de inmediato a ejecutarse en tiempo lineal
  3. CTodo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
  4. DEl problema de la parada se volvería decidible
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto se tarda en comprobar si existe la arista (u, v) con una matriz de adyacencia?

  1. AO(V)
  2. BO(E)
  3. CO(log V)
  4. DO(1)
4.Estructuras de datosDifícil

Un filtro de Bloom puede responder a «¿está este elemento en el conjunto?» con:

  1. ARespuestas solo para números
  2. BPosibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
  3. CPosibles falsos negativos, pero sin falsos positivos
  4. DRespuestas siempre exactas
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K7? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K7
H =
6.Teoría de grafosDifícil
413151011215141514ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas

Por qué esta es la respuesta

Para n pequeño, el bucle sencillo del ordenamiento por inserción supera la sobrecarga de la recursión de quicksort o merge sort, aunque sea O(n²).

Respuesta

C · El ordenamiento por inserción tiene poca sobrecarga y es rápido con entradas pequeñas o casi ordenadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP

Por qué esta es la respuesta

Como todo NP se reduce en tiempo polinómico a cualquier problema NP-completo, un algoritmo rápido para uno da un algoritmo rápido para todos.

Respuesta

C · Todo problema de NP podría resolverse en tiempo polinómico, así que P = NP
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(1)

Por qué esta es la respuesta

La entrada de la fila u y la columna v indica de inmediato si la arista existe; con una lista de adyacencia puede ser necesario recorrer los vecinos de u.

Respuesta

D · O(1)
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Si algún bit de un elemento es 0, seguro que no está; si todos son 1, probablemente está. Los filtros de Bloom sacrifican precisión a cambio de usar muy poca memoria.

Respuesta

B · Posibles falsos positivos, pero sin falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 360

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Respuesta

H = 360
6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 4, C: 13
2. B (4): G: 18
3. C (13): E: 23
4. G (18): D: 33
5. E (23): F: 38
6. D (33): F: 35
7. F (35)

ronda 3

C

Respuesta

C

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