Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es el tiempo de ejecución del radix sort LSD sobre n enteros de d dígitos en base k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n²)
  4. DO(d(n + k))
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Un problema es NP-completo si:

  1. AEstá fuera de NP pero es más difícil que todos los problemas NP, como el problema de la parada
  2. BEstá en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
  3. CSe puede resolver en tiempo polinómico
  4. DEs imposible de resolver
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánta memoria usa una lista de adyacencia para un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V + E)
  3. CO(V²)
  4. DO(E²)
4.Estructuras de datosDifícil

¿En qué mejora un radix tree (trie comprimido) a un trie simple?

  1. ASolo guarda la primera letra de cada palabra
  2. BOrdena los hijos de cada nodo por frecuencia
  3. CAlmacena cada palabra en una tabla hash en la raíz en lugar de en nodos separados
  4. DFusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 17 vértices y 17 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 17|E| = 17
k =
6.Teoría de grafosDifícil
106141159101413ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · O(d(n + k))

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las d pasadas es un ordenamiento por cuentas de coste O(n + k), así que, con d y k fijos, el total es lineal en n.

Respuesta

D · O(d(n + k))
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

Los problemas NP-completos son los más difíciles de NP; un algoritmo polinómico para uno de ellos daría uno para todo NP.

Respuesta

B · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · O(V + E)

Por qué esta es la respuesta

Cada vértice tiene una lista y cada arista aparece una vez (dirigido) o dos veces (no dirigido), lo que da O(V + E).

Respuesta

B · O(V + E)
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena

Por qué esta es la respuesta

Contraer los caminos sin ramificaciones reduce el número de nodos y la memoria usada, sin perder la búsqueda por prefijo.

Respuesta

D · Fusiona las cadenas de nodos con un solo hijo en una arista etiquetada con una cadena
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 1

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

17 − 1 = 16

Aristas que quitar

k = 17 − 16 = 1

Respuesta

k = 1
6.Teoría de grafos

Respuesta: G

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 16, G: 20
3. C (16): E: 30
4. G (20)
5. E (30): D: 41, F: 39
6. F (39)
7. D (41)

ronda 4

G

Respuesta

G

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