Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

En el problema de selección de actividades, ¿qué regla voraz da siempre el número máximo de actividades que no se solapan?

  1. AElegir primero la actividad más corta
  2. BElegir la actividad que empieza antes
  3. CElegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
  4. DElegir primero la actividad con menos solapamientos y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué algoritmo encuentra un árbol de expansión mínima añadiendo repetidamente la arista más barata que no forme un ciclo?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BFloyd-Warshall
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DAlgoritmo de Prim empezando desde un nodo
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el valor de la expresión en notación postfija 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C24
  4. D14
4.Estructuras de datosDifícil

La complejidad temporal de decrease-key en un montículo binario (conociendo la posición del elemento) es:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 7 vértices y 16 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 7|E| = 16
k =
6.Teoría de grafosDifícil
38107486106ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E
d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles

Por qué esta es la respuesta

Puede demostrarse con un argumento de intercambio que elegir la que termina antes es óptimo; las demás reglas tienen contraejemplos.

Respuesta

C · Elegir la actividad que termina antes y repetir con las compatibles
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Algoritmo de Kruskal

Por qué esta es la respuesta

Kruskal ordena las aristas por peso y las añade si conectan componentes distintas; Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial.

Respuesta

A · Algoritmo de Kruskal
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · 14

Por qué esta es la respuesta

Se apilan 3 y 4, + da 7; se apila 2, * da 7 × 2 = 14.

Respuesta

D · 14
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Tras disminuir la clave, el elemento sube (sift-up) como máximo la altura del montículo. Los montículos de Fibonacci logran decrease-key en O(1) amortizado.

Respuesta

C · O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

7 − 1 = 6

Aristas que quitar

k = 16 − 6 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 15

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 3, C: 8
B (3): G: 9
C (8): E: 15
G (9)
E (15): F: 23
F (23): D: 27
D (27)

Camino más corto

A → C → E
d(E) = 15

Respuesta

d(E) = 15

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