Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuántos niveles tiene la recursión de merge sort para un array de n elementos?

  1. AUnos n
  2. BUnos √n
  3. CUnos n / 2
  4. DUnos log₂ n
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué cualquier búsqueda basada en comparaciones en un array ordenado necesita Ω(log n) comparaciones en el peor caso?

  1. ACada comparación tarda un tiempo logarítmico
  2. BCada elemento debe compararse al menos una vez
  3. CUn árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
  4. DLa búsqueda binaria es el único algoritmo posible, y necesita log₂ n comparaciones
3.Estructuras de datosMedia

Las claves 50, 30, 70, 20, 40 se insertan en este orden en un árbol binario de búsqueda vacío. ¿Cuál es el hijo izquierdo de 30?

  1. A20
  2. B40
  3. C70
  4. D50
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura de datos permite una caché LRU (least recently used) con get y put en O(1)?

  1. AUn mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
  2. BSolo una pila
  3. CSolo un árbol binario de búsqueda
  4. DUn único arreglo ordenado
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K5? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K5
H =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 2 empiezan y terminan en C? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Unos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Dividir por la mitad de n hasta 1 lleva unos log₂ n niveles, y cada nivel hace un trabajo de mezcla O(n), lo que da O(n log n).

Respuesta

D · Unos log₂ n
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Cada comparación reduce como mucho a la mitad el conjunto de posibilidades restantes, así que distinguir n posiciones necesita al menos log₂ n comparaciones.

Respuesta

C · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 20

Por qué esta es la respuesta

20 es menor que 50 y menor que 30, así que pasa a ser el hijo izquierdo de 30; 40 pasa a ser su hijo derecho.

Respuesta

A · 20
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

El mapa hash encuentra los nodos en O(1) y la lista doblemente enlazada mueve los elementos accedidos al frente y expulsa por el final en O(1).

Respuesta

A · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 12

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Respuesta

H = 12
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 0 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vecinos comunes

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Respuesta

N = 2

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