Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árbol y bosque: |E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en K_n: (n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L: (Mᴸ)_ij

Método

Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuántos niveles tiene la recursión de merge sort para un array de n elementos?

AUnos n
BUnos log₂ n
CUnos n / 2
DUnos √n

2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué la búsqueda media en una tabla hash es O(1) pero el peor caso es O(n)?

ALos arrays tienen acceso O(n)
BLas claves deben ordenarse primero
CLas funciones hash son lentas
DMuchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto tarda la búsqueda de una palabra de longitud L en un trie con un alfabeto fijo?

AO(log n), donde n es el número de palabras
BO(L × n)
CO(n), donde n es el número de palabras
DO(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

4.Estructuras de datosDifícil

Al insertar una clave en un árbol AVL, el subárbol izquierdo de un nodo queda demasiado alto, y la nueva clave fue al subárbol izquierdo de su hijo izquierdo (caso izquierda-izquierda). ¿Qué corrección se aplica?

ARecolorear el nodo y su hijo
BUna rotación simple a la izquierda en el nodo desequilibrado
CUna rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado
DUna rotación a la izquierda en el hijo y luego una rotación a la derecha en el nodo

5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K₄? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K₄

H =

6.Teoría de grafosDifícil

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F

d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Unos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Dividir por la mitad de n hasta 1 lleva unos log₂ n niveles, y cada nivel hace un trabajo de mezcla O(n), lo que da O(n log n).

Respuesta

B · Unos log₂ n

2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

Por qué esta es la respuesta

Con una buena función hash y un factor de carga adecuado, los buckets se mantienen cortos en promedio; un hashing malicioso o deficiente puede poner todas las claves en un mismo bucket.

Respuesta

D · Muchas claves pueden colisionar en el mismo bucket

3.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

Por qué esta es la respuesta

Cada carácter selecciona un hijo, así que una búsqueda requiere L pasos, contenga el trie las palabras que contenga.

Respuesta

D · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

Por qué esta es la respuesta

En el caso izquierda-izquierda, una rotación a la derecha sube el hijo izquierdo y restablece el equilibrio; los casos en zigzag necesitan una rotación doble.

Respuesta

C · Una rotación simple a la derecha en el nodo desequilibrado

5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; K_n tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 15, C: 1

C (1): B: 12, E: 6

E (6): D: 12

B (12)

D (12): F: 20

F (20)

Camino más corto

A → C → E → D → F

d(F) = 20

Respuesta

d(F) = 20

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