Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué calcula el algoritmo de Floyd-Warshall y con qué rapidez?

  1. AUn orden topológico en O(V²)
  2. BLos caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
  3. CLos caminos más cortos desde un vértice origen hasta todos los demás en O(V + E)
  4. DUn árbol de expansión mínima en O(E log V)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Tomar los dos extremos de cada arista de un emparejamiento maximal da un recubrimiento de vértices. ¿Cómo de bueno es este recubrimiento?

  1. AComo mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
  2. BComo mucho log n veces el mínimo
  3. CSiempre es un recubrimiento de vértices mínimo
  4. DDe calidad desconocida respecto al óptimo
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué estructura de datos utiliza la búsqueda en profundidad (DFS) en su versión iterativa?

  1. AUna pila
  2. BSolo una tabla hash
  3. CUn montículo
  4. DUna cola
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué par de recorridos determina siempre un único árbol binario con claves distintas?

  1. ASolo el recorrido por niveles
  2. BPreorden y en orden
  3. CSolo el preorden
  4. DPreorden y postorden
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1187147410157ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)

Por qué esta es la respuesta

Floyd-Warshall es un algoritmo de programación dinámica que permite por turnos que cada vértice sea punto intermedio, con un tiempo O(V³).

Respuesta

B · Los caminos más cortos entre todos los pares de vértices en O(V³)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo

Por qué esta es la respuesta

Las aristas del emparejamiento no comparten vértices, así que el óptimo necesita al menos un vértice por arista, mientras que este método toma dos: una 2-aproximación.

Respuesta

A · Como mucho el doble del tamaño de un recubrimiento de vértices mínimo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Una pila

Por qué esta es la respuesta

DFS explora lo más profundo posible y usa de forma natural una pila (o la pila de llamadas de la recursión); BFS usa una cola.

Respuesta

A · Una pila
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Preorden y en orden

Por qué esta es la respuesta

El preorden da la raíz, y su posición en la secuencia en orden separa los subárboles izquierdo y derecho; preorden con postorden es ambiguo cuando un nodo tiene un solo hijo.

Respuesta

B · Preorden y en orden
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Vértices impares

A, B, C, F → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 29

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 11
B (11): C: 19, D: 18, G: 21
D (18): E: 25
C (19)
G (21)
E (25): F: 29
F (29)

Camino más corto

A → B → D → E → F
d(F) = 29

Respuesta

d(F) = 29

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