Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo de ordenación es estable?

  1. AMerge sort
  2. BOrdenamiento por selección (versión habitual)
  3. CHeap sort
  4. DQuicksort (versión in situ habitual)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log² n)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log n)
3.Estructuras de datosMedia

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿cuál es el factor de carga máximo posible?

  1. A0,5
  2. B1
  3. C2
  4. DNo hay máximo
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. ALas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
  2. BHace que la tabla quede ordenada
  3. CVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
  4. DLas lápidas aceleran el hashing
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
11210158912610ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 6; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Merge sort

Por qué esta es la respuesta

Merge sort es estable si, en caso de empate, la mezcla toma primero de la mitad izquierda. Quicksort in situ, heap sort y el ordenamiento por selección no suelen ser estables.

Respuesta

A · Merge sort
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Θ(n log² n)

Por qué esta es la respuesta

El nivel k hace un trabajo de unos n log(n / 2ᵏ), y sumar sobre los log n niveles da Θ(n log² n), el segundo caso ampliado del teorema maestro.

Respuesta

B · Θ(n log² n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · 1

Por qué esta es la respuesta

Con direccionamiento abierto todas las claves se almacenan en la propia tabla, así que n no puede superar m; con encadenamiento separado el factor de carga puede ser mayor que 1.

Respuesta

B · 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

C · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 11, C: 2
2. C (2): G: 14
3. B (11): D: 26
4. G (14): D: 20, E: 24
5. D (20)
6. E (24): F: 33
7. F (33)

ronda 6

E

Respuesta

E

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