Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué afirmación sobre una función recursiva sin un caso base alcanzable es correcta?

  1. ASe ejecuta en tiempo O(1)
  2. BSigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
  3. CDevuelve 0 automáticamente
  4. DEl compilador siempre la convierte en un bucle que termina sin problemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué dos cosas hay que demostrar para probar que un problema de decisión X es NP-completo?

  1. AQue X está en P y que X se reduce a SAT
  2. BQue X no tiene algoritmo polinómico y que X es decidible
  3. CQue X se reduce a un problema de P y que X está en NP
  4. DQue X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es el valor de la expresión en notación postfija 3 4 + 2 * ?

  1. A14
  2. B10
  3. C11
  4. D24
4.Estructuras de datosDifícil

En una tabla hash con direccionamiento abierto, ¿por qué la eliminación suele hacerse con un marcador «lápida» (tombstone)?

  1. ALas lápidas aceleran el hashing
  2. BLas claves eliminadas deben conservarse para siempre por seguridad, así que las posiciones nunca pueden reutilizarse
  3. CHace que la tabla quede ordenada
  4. DVaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

4 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
81233310439ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas

Por qué esta es la respuesta

Sin caso base, la recursión nunca termina; en la práctica se agota la memoria para los marcos de pila y el programa falla.

Respuesta

B · Sigue llamándose a sí misma hasta que se desborda la pila de llamadas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

La pertenencia a NP muestra que X no es más difícil que NP; la reducción desde un problema NP-completo conocido muestra que X es al menos tan difícil como todo NP.

Respuesta

D · Que X está en NP y que un problema NP-completo conocido se reduce a X en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · 14

Por qué esta es la respuesta

Se apilan 3 y 4, + da 7; se apila 2, * da 7 × 2 = 14.

Respuesta

A · 14
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves

Por qué esta es la respuesta

Si una posición eliminada quedara vacía, las búsquedas posteriores podrían detenerse antes de tiempo y no encontrar claves colocadas más adelante en la cadena de sondeo.

Respuesta

D · Vaciar la posición podría romper la secuencia de sondeo de otras claves
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 21

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 8
C (8): B: 20, E: 11, G: 11
E (11): D: 14, F: 21
G (11): B: 15
D (14)
B (15)
F (21)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 21

Respuesta

d(F) = 21

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