Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevosVolver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuánto espacio de pila usa una función factorial recursiva sencilla fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. ATodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
  2. BEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  3. CP no es igual a NP
  4. DEl problema de la parada es indecidible
3.Estructuras de datosMedia

Un búfer circular (ring buffer) se usa habitualmente para implementar:

  1. AUna función hash
  2. BUna cola de tamaño fijo
  3. CUn recorrido de grafo
  4. DUn árbol binario de búsqueda
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de segmentos (segment tree) se usa normalmente para:

  1. AResponder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
  2. BImplementar una pila
  3. COrdenar cadenas alfabéticamente almacenando cada prefijo en un nodo distinto del árbol
  4. DAlmacenar las aristas de un grafo
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 9 vértices y 18 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 9|E| = 18
k =
6.Teoría de grafosDifícil
7161352204ABCDE

El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo. Haz clic en la arista que añade como arista número 2; las aristas descartadas no cuentan.

k = 2
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n)

Por qué esta es la respuesta

La recursión alcanza n llamadas de profundidad antes de que ninguna termine, y cada llamada necesita un marco de pila, así que usa O(n) espacio.

Respuesta

B · O(n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

B · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una cola de tamaño fijo

Por qué esta es la respuesta

Un búfer circular usa índices de cabeza y cola que dan la vuelta, lo que permite enqueue y dequeue en O(1) con memoria fija.

Respuesta

B · Una cola de tamaño fijo
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de segmentos almacena agregados de intervalos y permite consultas por rangos y actualizaciones puntuales en tiempo O(log n).

Respuesta

A · Responder consultas por rangos (como sumas de rangos) y actualizaciones en O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

9 − 1 = 8

Aristas que quitar

k = 18 − 8 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (2)
2. BE (4)
3. BD (5)
4. AB (7)

arista número 2

BE

Respuesta

arista BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms