Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la solución de la recurrencia T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la diferencia entre un problema indecidible y uno intratable?

  1. AAmbos significan que el problema no tiene ningún algoritmo
  2. BUn problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
  3. CLos problemas indecidibles están en NP, mientras que los intratables están en P
  4. DLos problemas intratables no pueden resolverse con ningún algoritmo, mientras que los indecidibles solo necesitan tiempo exponencial
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué condición de equilibrio mantiene un árbol AVL en cada nodo?

  1. AAmbos subárboles de cada nodo contienen exactamente el mismo número de nodos
  2. BCada nodo está coloreado de rojo o de negro
  3. CLas alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
  4. DTodas las hojas están exactamente a la misma profundidad
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué propiedad debe cumplir un árbol rojo-negro?

  1. ATodos los nodos deben ser rojos
  2. BLa raíz debe ser roja
  3. CTodo nodo rojo debe tener hijos rojos, así que los nodos rojos forman siempre cadenas ininterrumpidas hasta las hojas
  4. DTodo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 7 vértices y 16 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 7|E| = 16
k =
6.Teoría de grafosDifícil
114111469832ABCDEFG

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(E) del camino más corto de A a E en el grafo ponderado.

inicio: Afin: E
d(E) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

El problema se reduce a la mitad en cada paso con trabajo constante por paso, así que hay unos log₂ n pasos.

Respuesta

C · O(log n)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento

Por qué esta es la respuesta

El problema de la parada no tiene ningún algoritmo; un problema NP-difícil como el del viajante puede resolverse por fuerza bruta, solo que no en un tiempo polinómico conocido.

Respuesta

B · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1

Por qué esta es la respuesta

El factor de equilibrio (altura izquierda − altura derecha) debe ser −1, 0 o 1; las rotaciones lo restablecen tras las inserciones y eliminaciones.

Respuesta

C · Las alturas de los subárboles izquierdo y derecho difieren como máximo en 1
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros

Por qué esta es la respuesta

Reglas rojo-negro: los nodos son rojos o negros, la raíz es negra, los nodos rojos tienen hijos negros y todos los caminos tienen la misma altura negra, lo que mantiene la altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Respuesta

D · Todo camino desde un nodo hasta sus hojas descendientes tiene el mismo número de nodos negros
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

7 − 1 = 6

Aristas que quitar

k = 16 − 6 = 10

Respuesta

k = 10
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(E) = 22

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): C: 11
C (11): B: 15, E: 25, G: 14
G (14): D: 16
B (15)
D (16): E: 22, F: 25
E (22)
F (25)

Camino más corto

A → C → G → D → E
d(E) = 22

Respuesta

d(E) = 22

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