Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La programación dinámica es útil cuando un problema tiene:

  1. AUn único bucle
  2. BSubproblemas superpuestos y subestructura óptima
  3. CSolo entradas aleatorias
  4. DNingún subproblema en absoluto, así que puede resolverse en un solo paso
2.Algoritmos y complejidadDifícil

Un problema es NP-completo si:

  1. AEs imposible de resolver
  2. BSe puede resolver en tiempo polinómico
  3. CEstá fuera de NP pero es más difícil que todos los problemas NP, como el problema de la parada
  4. DEstá en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datosMedia

Un recorrido en orden (in-order) de un árbol binario de búsqueda visita las claves en:

  1. AOrden ascendente
  2. BSiempre orden descendente
  3. COrden de inserción
  4. DOrden por niveles
4.Estructuras de datosDifícil

¿Por qué no se pueden eliminar elementos de un filtro de Bloom estándar simplemente poniendo a cero sus bits?

  1. ALos bits de un filtro de Bloom no pueden cambiarse después de crearlo
  2. BEsos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
  3. CLos filtros de Bloom almacenan los elementos completos, que ya no pueden volver a localizarse una vez aplicado el hash
  4. DEliminar elevaría la tasa de falsos positivos al 100%
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K4? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K4
H =
6.Teoría de grafosDifícil
20231298161817ABCDEFG

Halla el peso total W de un árbol generador mínimo del grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima

Por qué esta es la respuesta

Guardar los resultados de los subproblemas superpuestos (memoización o tabulación) evita trabajo repetido y convierte algoritmos exponenciales en polinómicos.

Respuesta

B · Subproblemas superpuestos y subestructura óptima
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico

Por qué esta es la respuesta

Los problemas NP-completos son los más difíciles de NP; un algoritmo polinómico para uno de ellos daría uno para todo NP.

Respuesta

D · Está en NP y todo problema NP se reduce a él en tiempo polinómico
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Orden ascendente

Por qué esta es la respuesta

Visitar el subárbol izquierdo, luego el nodo y luego el subárbol derecho produce las claves del BST ordenadas.

Respuesta

A · Orden ascendente
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos

Por qué esta es la respuesta

Poner a cero un bit compartido haría que otro elemento pareciera ausente; los filtros de Bloom con contadores (counting Bloom filters) guardan contadores en lugar de bits para permitir eliminaciones.

Respuesta

B · Esos bits pueden pertenecer también a otros elementos, lo que causaría falsos negativos
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 3

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Respuesta

H = 3
6.Teoría de grafos

Respuesta: W = 54

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Kruskal

BC (2): tomar
CE (3): tomar
GB (8): tomar
EF (9): tomar
DE (12): tomar
GC (16): descartar, cierra un ciclo
GE (17): descartar, cierra un ciclo
GD (18): descartar, cierra un ciclo
AB (20): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 8 + 9 + 12 + 20 = 54

Respuesta

W = 54

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