Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. AAlgoritmo de Kruskal
  2. BAlgoritmo de Dijkstra
  3. CBellman-Ford es necesario en todos los casos
  4. DBúsqueda en profundidad (DFS)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál de estos problemas de satisfacibilidad se sabe que es resoluble en tiempo polinómico?

  1. A2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
  2. B3-SAT, donde cada cláusula tiene exactamente tres literales
  3. CLa satisfacibilidad de circuitos
  4. DSAT general sobre fórmulas en forma normal conjuntiva
3.Estructuras de datosMedia

Los árboles AVL y los árboles rojo-negro garantizan:

  1. AQue las claves se almacenen en orden de inserción
  2. BUna altura O(log n) mediante el rebalanceo
  3. CBúsqueda en tiempo constante en todos los casos
  4. DQue ningún nodo tenga dos hijos
4.Estructuras de datosDifícil

Un árbol de Fenwick (binary indexed tree) sobre un arreglo de n números permite, ¿qué operaciones en O(log n)?

  1. AInsertar elementos en cualquier posición
  2. BOrdenar el arreglo y la búsqueda binaria
  3. CConsultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
  4. DEncontrar la mediana en O(1)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 17 vértices y 18 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDE

¿Cuántos recorridos cerrados de longitud 3 empiezan y terminan en D? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 3
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

B · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales

Por qué esta es la respuesta

2-SAT está en P (tiempo lineal mediante componentes fuertemente conexas), mientras que 3-SAT es NP-completo.

Respuesta

A · 2-SAT, donde cada cláusula tiene como mucho dos literales
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo

Por qué esta es la respuesta

Los árboles autobalanceados mantienen una altura logarítmica, así que la búsqueda, la inserción y la eliminación son O(log n) en el peor caso.

Respuesta

B · Una altura O(log n) mediante el rebalanceo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento

Por qué esta es la respuesta

Un árbol de Fenwick almacena sumas parciales sobre rangos determinados por los bits bajos de cada índice, así que tanto las sumas de prefijos como las actualizaciones puntuales cuestan O(log n).

Respuesta

C · Consultas de sumas de prefijos y actualizaciones de un solo elemento
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 2

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

17 − 1 = 16

Aristas que quitar

k = 18 − 16 = 2

Respuesta

k = 2
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 2

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Un paso más

(M³)DD = 1·0 + 1·1 + 2·0 + 2·0 + 1·1 = 2

Respuesta

N = 2

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