Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal de: para i = 1 hasta n: para j = 1 hasta i: hacer trabajo O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n³)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AEl problema de la parada es indecidible
  2. BP no es igual a NP
  3. CEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  4. DTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
3.Estructuras de datosMedia

¿Por qué un montículo binario puede almacenarse en un arreglo sin ningún puntero?

  1. ATodas las claves de un montículo son iguales
  2. BEs un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
  3. CLos arreglos mantienen automáticamente las claves ordenadas, así que no hacen falta punteros
  4. DLos montículos nunca contienen más de 100 elementos
4.Estructuras de datosDifícil

Sin unión por rango ni compresión de caminos, ¿cuál es el coste en el peor caso de un solo find en una estructura union-find con n elementos?

  1. AO(α(n))
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 7 vértices y 13 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 7|E| = 13
k =
6.Teoría de grafosDifícil
1413742233ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(n²)

Por qué esta es la respuesta

El cuerpo interior se ejecuta n(n + 1) / 2 veces en total, lo que sigue siendo cuadrático.

Respuesta

A · O(n²)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas

Por qué esta es la respuesta

Ser completo significa que no hay huecos, así que los hijos del índice i están siempre en 2i + 1 y 2i + 2.

Respuesta

B · Es un árbol binario completo, así que las posiciones siguen fórmulas de índices sencillas
4.Estructuras de datos

Respuesta: D · O(n)

Por qué esta es la respuesta

Las uniones ingenuas pueden enlazar los árboles formando una cadena larga, así que find puede tener que seguir n − 1 punteros al padre; las dos heurísticas lo acercan a un coste constante.

Respuesta

D · O(n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 7

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

7 − 1 = 6

Aristas que quitar

k = 13 − 6 = 7

Respuesta

k = 7
6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 20

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 14, C: 13
C (13)
B (14): D: 18, E: 17
E (17): F: 20
D (18)
F (20)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 20

Respuesta

d(F) = 20

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