Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cómo construye el algoritmo de Prim un árbol de expansión mínima?

  1. AElimina la arista más cara hasta que no quedan ciclos
  2. BHace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
  3. COrdena todas las aristas por peso y añade cada una salvo que forme un ciclo en el bosque
  4. DEjecuta una búsqueda en anchura y se queda con el árbol BFS
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El problema de la parada demuestra que:

  1. AAlgunos programas se ejecutan más rápido en ordenadores más rápidos, así que la parada depende del hardware
  2. BHay que evitar los bucles
  3. CNingún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
  4. DTodo programa acaba deteniéndose
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuál es la altura en el peor caso de un árbol binario de búsqueda con n nodos si las claves se insertan en orden?

  1. A√n
  2. Blog₂ n
  3. C1
  4. Dn (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cómo se puede detectar si una lista simplemente enlazada contiene un ciclo usando O(1) de memoria adicional?

  1. AMover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
  2. BContar los nodos hasta que la cuenta supere el campo de longitud de la lista
  3. COrdenar la lista y buscar duplicados
  4. DGuardar cada nodo visitado en un conjunto hash
5.Teoría de grafosMedia
ABCDECircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 5|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1111151172514ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Prim, con una cola de prioridad de las aristas que cruzan el corte, se ejecuta en O(E log V) con un montículo binario.

Respuesta

B · Hace crecer un único árbol desde un vértice inicial, añadiendo la arista más barata que sale del árbol
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene

Por qué esta es la respuesta

Turing demostró que el problema de la parada es indecidible: suponer que existe un decisor lleva a una contradicción con un programa que hace lo contrario.

Respuesta

C · Ningún algoritmo puede decidir, para todo programa y toda entrada, si el programa se detiene
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · n (se convierte en una lista enlazada)

Por qué esta es la respuesta

Las inserciones ordenadas crean un árbol degenerado de altura n, por lo que las búsquedas son O(n). Los árboles balanceados lo evitan.

Respuesta

D · n (se convierte en una lista enlazada)
4.Estructuras de datos

Respuesta: A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran

Por qué esta es la respuesta

En el algoritmo de Floyd, si hay un ciclo, el puntero rápido acaba alcanzando al lento; si no, el puntero rápido llega a null.

Respuesta

A · Mover un puntero de uno en uno y otro de dos en dos y comprobar si se encuentran
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices impares

C, E → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 23

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 11, C: 11
B (11): D: 22, E: 25
C (11): E: 18
E (18): F: 23
D (22)
F (23)

Camino más corto

A → C → E → F
d(F) = 23

Respuesta

d(F) = 23

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