Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal amortizada de añadir al final de un array dinámico que duplica su capacidad cuando está lleno?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué estableció el teorema de Cook-Levin?

  1. AP no es igual a NP
  2. BEl problema de la parada es indecidible
  3. CEl problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
  4. DTodo problema NP puede resolverse en tiempo exponencial
3.Estructuras de datosMedia

¿Cuánto tarda la búsqueda de una palabra de longitud L en un trie con un alfabeto fijo?

  1. AO(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
  2. BO(n), donde n es el número de palabras
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), donde n es el número de palabras
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura permite calcular el máximo de cada ventana de tamaño k de un arreglo en un tiempo total O(n)?

  1. AUn min-heap reconstruido para cada ventana
  2. BUna lista simplemente enlazada con los elementos de la ventana
  3. CUna deque que guarda índices en orden decreciente de valor
  4. DUn arreglo ordenado actualizado mediante desplazamientos
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 2 vértices de grado 3, 2 vértices de grado 5, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

2 × deg 32 × deg 5
L =
6.Teoría de grafosDifícil
71642182015ABCDE

El algoritmo de Prim construye un árbol generador mínimo a partir del vértice C. Haz clic en la arista que añade como arista número 4.

inicio: Ck = 4
  1. 1arista AB
  2. 2arista AC
  3. 3arista BC
  4. 4arista BD
  5. 5arista CE
  6. 6arista DE
  7. 7arista BE

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · O(1)

Por qué esta es la respuesta

Todos los elementos se copian solo en potencias de dos; repartido entre todas las inserciones, el coste medio por inserción es constante.

Respuesta

A · O(1)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo

Por qué esta es la respuesta

Cook y Levin demostraron de forma independiente que todo problema de NP se reduce a SAT en tiempo polinómico, así que SAT fue el primer problema NP-completo conocido.

Respuesta

C · El problema de satisfacibilidad booleana (SAT) es NP-completo
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas

Por qué esta es la respuesta

Cada carácter selecciona un hijo, así que una búsqueda requiere L pasos, contenga el trie las palabras que contenga.

Respuesta

A · O(L), independientemente de cuántas palabras haya almacenadas
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor

Por qué esta es la respuesta

El frente de la deque es siempre el máximo de la ventana; cada índice entra en la deque y sale de ella una vez, así que el trabajo es lineal.

Respuesta

C · Una deque que guarda índices en orden decreciente de valor
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 10

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Respuesta

L = 10

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: arista BE

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Algoritmo de Prim

1. BC (4)
2. BD (2)
3. AB (7)
4. BE (15)

arista número 4

BE

Respuesta

arista BE

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