Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

La búsqueda en anchura (BFS) en un grafo no ponderado encuentra:

  1. AEl árbol de expansión mínima
  2. BLos caminos más cortos en grafos que contienen aristas con pesos negativos
  3. CLos caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
  4. DUn orden topológico en todos los grafos
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Cuál es la diferencia entre un problema indecidible y uno intratable?

  1. ALos problemas intratables no pueden resolverse con ningún algoritmo, mientras que los indecidibles solo necesitan tiempo exponencial
  2. BUn problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
  3. CLos problemas indecidibles están en NP, mientras que los intratables están en P
  4. DAmbos significan que el problema no tiene ningún algoritmo
3.Estructuras de datosMedia

Una red de carreteras tiene 100,000 cruces, cada uno conectado con unos 4 más. ¿Qué representación es la más adecuada?

  1. AMatriz de adyacencia
  2. BUn único arreglo ordenado de vértices
  3. CUn montículo binario de aristas
  4. DLista de adyacencia
4.Estructuras de datosDifícil

La complejidad temporal de decrease-key en un montículo binario (conociendo la posición del elemento) es:

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
152105971511ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 4; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial

Por qué esta es la respuesta

BFS visita los nodos en orden de distancia (en aristas) desde el origen, así que encuentra los caminos más cortos no ponderados en O(V + E).

Respuesta

C · Los caminos más cortos en número de aristas desde el nodo inicial
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento

Por qué esta es la respuesta

El problema de la parada no tiene ningún algoritmo; un problema NP-difícil como el del viajante puede resolverse por fuerza bruta, solo que no en un tiempo polinómico conocido.

Respuesta

B · Un problema indecidible no tiene ningún algoritmo que sirva para todas las entradas; uno intratable sí lo tiene, pero es demasiado lento
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Lista de adyacencia

Por qué esta es la respuesta

Una matriz necesitaría 1010 celdas, casi todas vacías; una lista de adyacencia solo almacena unas 400,000 entradas de aristas.

Respuesta

D · Lista de adyacencia
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(log n)

Por qué esta es la respuesta

Tras disminuir la clave, el elemento sube (sift-up) como máximo la altura del montículo. Los montículos de Fibonacci logran decrease-key en O(1) amortizado.

Respuesta

C · O(log n)
5.Teoría de grafos

Respuesta: ninguna de las dos

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Vértices impares

A, B, D, E → 4
ninguna de las dos

Respuesta

ninguna de las dos
6.Teoría de grafos

Respuesta: B

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 15, C: 2
2. C (2): B: 12, E: 11
3. E (11): D: 18, F: 22
4. B (12): D: 17
5. D (17)
6. F (22)

ronda 4

B

Respuesta

B

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