Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

Con monedas de 1, 3 y 4 y una cantidad de 6, ¿cuántas monedas usa el método voraz de «la moneda más grande primero», comparado con el óptimo?

  1. AEl voraz usa 2 monedas; el óptimo es 2
  2. BEl voraz usa 4 monedas; el óptimo es 3
  3. CEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
  4. DEl voraz usa 3 monedas; el óptimo es 3
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué el algoritmo de Dijkstra puede dar resultados erróneos cuando algunos pesos de arista son negativos?

  1. ASolo funciona con grafos no dirigidos
  2. BLos números negativos no pueden guardarse en una cola de prioridad
  3. CUn vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
  4. DEntra en un bucle infinito con cada arista negativa
3.Estructuras de datosMedia

¿Para qué sirve un nodo centinela (ficticio) en una lista enlazada?

  1. APara almacenar el número de elementos
  2. BPara simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
  3. CPara mantener la lista ordenada
  4. DPara impedir que la lista crezca más allá de un número máximo fijo de nodos
4.Estructuras de datosDifícil

Un arreglo dinámico duplica su tamaño cuando está lleno. ¿Por qué muchas implementaciones solo lo reducen cuando está lleno en una cuarta parte, y no en la mitad?

  1. APorque reducirlo a la mitad al llegar a la mitad perdería elementos
  2. BPara evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
  3. CPorque el asignador de memoria solo puede liberar memoria en cuartos de bloque
  4. DPara mantener el arreglo ordenado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, 4 vértices de grado 4, 3 vértices de grado 2, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoría de grafosDifícil
10951415111187ABCDEF

Usa el algoritmo de Dijkstra para hallar la longitud d(F) del camino más corto de A a F en el grafo ponderado.

inicio: Afin: F
d(F) =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2

Por qué esta es la respuesta

El voraz toma 4 + 1 + 1 = 3 monedas, pero 3 + 3 usa solo 2, así que el método voraz no es óptimo para este sistema de monedas; la programación dinámica sí lo es.

Respuesta

C · El voraz usa 3 monedas; el óptimo es 2
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto

Por qué esta es la respuesta

El paso voraz se basa en pesos no negativos para que las distancias extraídas sean definitivas; cuando los pesos pueden ser negativos se usa Bellman-Ford.

Respuesta

C · Un vértice se da por cerrado al extraerlo, pero una arista negativa posterior aún podría darle un camino más corto
3.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola

Por qué esta es la respuesta

Con un centinela, todo nodo real tiene un predecesor, así que insertar o eliminar en la cabeza no requiere ningún tratamiento especial.

Respuesta

B · Para simplificar el código eliminando los casos especiales en la cabeza o en la cola
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite

Por qué esta es la respuesta

Reducirlo al llegar a la mitad podría provocar un redimensionamiento en cada operación de esa secuencia; el margen entre 1/4 y lleno mantiene el coste amortizado en O(1).

Respuesta

B · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 13

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 31 = 2(L + 10) − 2
L = 13

Respuesta

L = 13

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: d(F) = 25

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

Cada línea: el vértice fijado, su distancia definitiva y los vecinos cuya distancia mejora.

A (0): B: 10, C: 9
C (9): E: 24
B (10): D: 24, E: 17
E (17): F: 25
D (24)
F (25)

Camino más corto

A → B → E → F
d(F) = 25

Respuesta

d(F) = 25

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