Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué algoritmo encuentra los caminos más cortos desde un origen en un grafo con pesos de aristas no negativos?

  1. ABellman-Ford es necesario en todos los casos
  2. BAlgoritmo de Kruskal
  3. CBúsqueda en profundidad (DFS)
  4. DAlgoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidadDifícil

El algoritmo de programación dinámica de Held-Karp resuelve exactamente el problema del viajante. ¿Cuál es su tiempo de ejecución para n ciudades?

  1. AO(n!)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n³)
  4. DO(2n²)
3.Estructuras de datosMedia

Un árbol binario tiene la raíz 1 con hijo izquierdo 2 e hijo derecho 3; el nodo 2 tiene los hijos 4 (izquierdo) y 5 (derecho). ¿Cuál es el recorrido en preorden?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Estructuras de datosDifícil

Debes conservar los k valores más pequeños de un flujo de n números usando O(k) de memoria. ¿Qué enfoque funciona en un tiempo O(n log k)?

  1. AUn arreglo ordenado con los n valores
  2. BUn min-heap que contiene los n valores, del que se extraen al final los k menores
  3. CUn max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
  4. DUna cola FIFO con los últimos k valores
5.Teoría de grafosMedia

¿Cuántos circuitos de Hamilton distintos, H, tiene el grafo completo K8? Los circuitos que solo difieren en el vértice inicial o en el sentido cuentan como el mismo.

K8
H =
6.Teoría de grafosDifícil
ABCDEF

¿Cuántos recorridos de longitud 2 van de B a A? Un recorrido puede repetir vértices y aristas. Llama al número N.

M = matriz de adyacenciaL = 2
N =

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: D · Algoritmo de Dijkstra

Por qué esta es la respuesta

El algoritmo de Dijkstra funciona con pesos no negativos; Bellman-Ford admite pesos negativos; Kruskal construye árboles de expansión mínima.

Respuesta

D · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · O(n² 2ⁿ)

Por qué esta es la respuesta

Hay unos n 2ⁿ estados, y cada uno se calcula en O(n); es exponencial, pero mucho más rápido que probar los (n − 1)! recorridos.

Respuesta

B · O(n² 2ⁿ)
3.Estructuras de datos

Respuesta: C · 1 2 4 5 3

Por qué esta es la respuesta

El preorden visita 1, luego su subárbol izquierdo (2, 4, 5) y después 3; las demás opciones son el recorrido en orden, el postorden y el recorrido por niveles.

Respuesta

C · 1 2 4 5 3
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor

Por qué esta es la respuesta

La raíz del max-heap es el mayor valor conservado; cualquier valor nuevo menor la sustituye en O(log k), así que el montículo siempre contiene los k menores vistos hasta el momento.

Respuesta

C · Un max-heap de tamaño k, sustituyendo su raíz cuando llega un valor menor
5.Teoría de grafos

Respuesta: H = 2520

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Respuesta

H = 2520
6.Teoría de grafos

Respuesta: N = 1

Grados: el grado de un vértice es el número de aristas que inciden en él. Cada arista tiene dos extremos, así que los grados suman el doble del número de aristas: Σ gr(v) = 2|E| (el lema del apretón de manos). Por tanto, el número de vértices de grado impar es par. Kn tiene n(n − 1)/2 aristas, un grafo k-regular de n vértices tiene nk/2, y un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas.

Matriz de adyacencia

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Vecinos comunes

(M²)BA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Respuesta

N = 1

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