Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Cuál es la complejidad temporal del algoritmo de Bellman-Ford en un grafo con V vértices y E aristas?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V × E)
  4. DO(E log V)
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿En qué variante del problema de la mochila la regla voraz «tomar los objetos por orden de valor por unidad de peso» da siempre una respuesta óptima?

  1. AEn ninguna de las dos
  2. BLa mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
  3. CEn ambas variantes
  4. DLa mochila 0/1, en la que los objetos deben tomarse siempre enteros
3.Estructuras de datosMedia

¿Cómo se inserta un elemento nuevo en un montículo binario?

  1. ASe coloca en la raíz y se hace bajar (sift-down)
  2. BSe inserta en su posición ordenada desplazando una posición a la derecha todos los elementos mayores
  3. CSe reconstruye todo el montículo desde cero
  4. DSe coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datosDifícil

¿Cuál es el tiempo de ejecución de la búsqueda en anchura en un grafo con V vértices almacenado como matriz de adyacencia?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
5.Teoría de grafosMedia

Un grafo conexo tiene 6 vértices y 9 aristas. ¿Cuántas aristas, k, hay que quitar para obtener un árbol generador?

|V| = 6|E| = 9
k =
6.Teoría de grafosDifícil
14914115116ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 6; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · O(V × E)

Por qué esta es la respuesta

Cada una de las V − 1 rondas relaja las E aristas, lo que da O(VE); a cambio, admite pesos de arista negativos.

Respuesta

C · O(V × E)
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse

Por qué esta es la respuesta

Cuando los objetos pueden dividirse, tomar primero el mejor cociente es óptimo; en la mochila 0/1 un objeto con un cociente alto puede bloquear una combinación mejor, así que hace falta programación dinámica.

Respuesta

B · La mochila fraccionaria, en la que los objetos pueden dividirse
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo

Por qué esta es la respuesta

Añadirlo al final mantiene el árbol completo; intercambiarlo con su padre restablece el orden en O(log n) pasos.

Respuesta

D · Se coloca al final del arreglo y se hace subir (sift-up) mientras viole la propiedad de montículo
4.Estructuras de datos

Respuesta: C · O(V²)

Por qué esta es la respuesta

Cada uno de los V vértices recorre una fila de V entradas, lo que da O(V²); con listas de adyacencia, BFS es O(V + E).

Respuesta

C · O(V²)
5.Teoría de grafos

Respuesta: k = 4

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Aristas de un árbol generador

6 − 1 = 5

Aristas que quitar

k = 9 − 5 = 4

Respuesta

k = 4
6.Teoría de grafos

Respuesta: E

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): C: 1
2. C (1): E: 10, G: 2
3. G (2): B: 3, E: 8
4. B (3): D: 7
5. D (7): F: 18
6. E (8): F: 13
7. F (13)

ronda 6

E

Respuesta

E

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