Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Qué significa que un problema tenga subestructura óptima?

  1. ATodos los subproblemas tienen el mismo tamaño
  2. BUna solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
  3. CEl problema puede resolverse en tiempo constante
  4. DEl problema tiene exactamente una solución óptima, que comparten todos sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Por qué cualquier búsqueda basada en comparaciones en un array ordenado necesita Ω(log n) comparaciones en el peor caso?

  1. ACada comparación tarda un tiempo logarítmico
  2. BUn árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
  3. CLa búsqueda binaria es el único algoritmo posible, y necesita log₂ n comparaciones
  4. DCada elemento debe compararse al menos una vez
3.Estructuras de datosMedia

¿Qué se cumple en la matriz de adyacencia de un grafo no dirigido?

  1. ASu diagonal principal siempre contiene unos
  2. BCada fila tiene exactamente un 1
  3. CSiempre es triangular superior
  4. DEs simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datosDifícil

¿Qué estructura de datos permite una caché LRU (least recently used) con get y put en O(1)?

  1. ASolo una pila
  2. BUn mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
  3. CSolo un árbol binario de búsqueda
  4. DUn único arreglo ordenado
5.Teoría de grafosMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCamino euleriano, sin circuitoninguna de las dos

¿Tiene el grafo conexo un circuito euleriano, un camino euleriano que no es un circuito, o ninguno de los dos? Haz clic en tu respuesta.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Camino euleriano, sin circuito
  3. 3ninguna de las dos
6.Teoría de grafosDifícil
1414101061189410ABCDEFG

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas

Por qué esta es la respuesta

La subestructura óptima es necesaria para que tanto los algoritmos voraces como la programación dinámica den respuestas correctas.

Respuesta

B · Una solución óptima puede construirse a partir de soluciones óptimas de sus subproblemas
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: B · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n

Por qué esta es la respuesta

Cada comparación reduce como mucho a la mitad el conjunto de posibilidades restantes, así que distinguir n posiciones necesita al menos log₂ n comparaciones.

Respuesta

B · Un árbol de decisión con n resultados posibles debe tener una profundidad de al menos log₂ n
3.Estructuras de datos

Respuesta: D · Es simétrica respecto a la diagonal principal

Por qué esta es la respuesta

En un grafo no dirigido, la arista {u, v} implica que tanto M[u][v] como M[v][u] están marcadas, así que la matriz es igual a su traspuesta.

Respuesta

D · Es simétrica respecto a la diagonal principal
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada

Por qué esta es la respuesta

El mapa hash encuentra los nodos en O(1) y la lista doblemente enlazada mueve los elementos accedidos al frente y expulsa por el final en O(1).

Respuesta

B · Un mapa hash combinado con una lista doblemente enlazada
5.Teoría de grafos

Respuesta: Camino euleriano, sin circuito

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Grados

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices impares

C, D → 2
Camino euleriano, sin circuito

Respuesta

Camino euleriano, sin circuito

El camino euleriano empieza en un vértice impar y termina en el otro.

6.Teoría de grafos

Respuesta: G

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 14
2. B (14): C: 28, D: 24, G: 23
3. G (23): C: 27, E: 33
4. D (24): E: 30, F: 35
5. C (27)
6. E (30)
7. F (35)

ronda 3

G

Respuesta

G

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