Estructuras de datos y algoritmos: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 6 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Teoría de grafos

Lema del apretón de manos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árbol y bosque
|E| = n − 1, |E| = n − c
Hojas de un árbol
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos los grados pares; camino: exactamente 2 grados impares
Circuitos de Hamilton en Kn
(n − 1)!/2
Actualización de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Recorridos de longitud L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anota el grado de cada vértice; los grados suman el doble del número de aristas.
  2. En las preguntas de Euler, comprueba que el grafo sea conexo y cuenta los vértices de grado impar.
  3. En los árboles, usa n − 1 aristas y el lema del apretón de manos.
  4. En Dijkstra, lleva una tabla de distancias provisionales y fija en cada ronda el vértice no fijado de menor distancia.
  5. Para un árbol generador mínimo, ordena las aristas por peso y descarta toda arista que cierre un ciclo (Kruskal), o haz crecer un único árbol desde un vértice inicial (Prim).

2Problemas de práctica

1.Algoritmos y complejidadMedia

¿Aproximadamente cuántas comparaciones necesita la búsqueda binaria en el peor caso en un array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. AUnas 20
  2. BUnas 1,000
  3. CUnas 500,000
  4. DUnas 100
2.Algoritmos y complejidadDifícil

¿Qué cota es correcta para log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Estructuras de datosMedia

Un recorrido en orden (in-order) de un árbol binario de búsqueda visita las claves en:

  1. AOrden ascendente
  2. BSiempre orden descendente
  3. COrden de inserción
  4. DOrden por niveles
4.Estructuras de datosDifícil

Un arreglo dinámico duplica su tamaño cuando está lleno. ¿Por qué muchas implementaciones solo lo reducen cuando está lleno en una cuarta parte, y no en la mitad?

  1. APorque el asignador de memoria solo puede liberar memoria en cuartos de bloque
  2. BPara evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
  3. CPorque reducirlo a la mitad al llegar a la mitad perdería elementos
  4. DPara mantener el arreglo ordenado
5.Teoría de grafosMedia

Un árbol tiene 3 vértices de grado 3, y todos sus demás vértices son hojas (grado 1). ¿Cuántas hojas, L, tiene?

3 × deg 3
L =
6.Teoría de grafosDifícil
5878141136ABCDEF

El algoritmo de Dijkstra se ejecuta desde A. Haz clic en el vértice que se fija (se hace permanente) en la ronda 3; la propia A es la ronda 1.

inicio: Aronda 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Disoluciones

1.Algoritmos y complejidad

Respuesta: A · Unas 20

Por qué esta es la respuesta

220 ≈ 1,048,576, así que tras unas 20 divisiones por la mitad solo queda un elemento.

Respuesta

A · Unas 20
2.Algoritmos y complejidad

Respuesta: C · Θ(n log n)

Por qué esta es la respuesta

log(n!) ≤ n log n, y los n / 2 factores mayores dan log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); por eso la ordenación por comparaciones necesita Ω(n log n).

Respuesta

C · Θ(n log n)
3.Estructuras de datos

Respuesta: A · Orden ascendente

Por qué esta es la respuesta

Visitar el subárbol izquierdo, luego el nodo y luego el subárbol derecho produce las claves del BST ordenadas.

Respuesta

A · Orden ascendente
4.Estructuras de datos

Respuesta: B · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite

Por qué esta es la respuesta

Reducirlo al llegar a la mitad podría provocar un redimensionamiento en cada operación de esa secuencia; el margen entre 1/4 y lleno mantiene el coste amortizado en O(1).

Respuesta

B · Para evitar redimensionamientos repetidos cuando se alternan push y pop cerca del límite
5.Teoría de grafos

Respuesta: L = 5

Euler, Hamilton y árboles: un grafo conexo tiene un circuito euleriano (cada arista una vez, volviendo al inicio) cuando todos los vértices tienen grado par, y un camino euleriano que no es un circuito cuando exactamente dos vértices tienen grado impar; entonces el camino va de un vértice impar al otro. Un circuito hamiltoniano visita cada vértice una vez; Kn tiene (n − 1)!/2 de ellos. Un árbol de n vértices tiene n − 1 aristas, y un grafo conexo con m aristas conserva un árbol generador tras quitarle m − n + 1 aristas.

Lema del apretón de manos para un árbol

L + 9 = 2(L + 3) − 2
L = 5

Respuesta

L = 5

Atajo: L = 2 + Σ (d − 2) sobre los vértices de grado d ≥ 3.

6.Teoría de grafos

Respuesta: C

Caminos mínimos y árboles generadores: el algoritmo de Dijkstra fija un vértice por ronda: el vértice no fijado con la menor distancia provisional. Su distancia es entonces definitiva, y cada vecino v recibe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). El algoritmo de Kruskal construye un árbol generador mínimo tomando las aristas de la más ligera a la más pesada y descartando toda arista que cierre un ciclo; el algoritmo de Prim hace crecer un único árbol desde un vértice inicial añadiendo siempre la arista más ligera que sale de él. Un árbol generador de n vértices tiene n − 1 aristas.

Dijkstra ronda a ronda

1. A (0): B: 5, C: 8
2. B (5): D: 12, E: 11
3. C (8)
4. E (11): F: 24
5. D (12): F: 13
6. F (13)

ronda 3

C

Respuesta

C

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